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DOCENCIA, Curso 2017/2018    (¡Cuidado con nuestra labor docente. Puede sucedernos algo como esto!   2+3)

 

Descripción: Descripción: Descripción: E:\tony\paginaweb\pendulo.JPG                                                                   Descripción: Descripción: Descripción: E:\tony\paginaweb\profesor.gif          

TUTORÍAS : Martes, Miércoles y Jueves, de 11 a 13. Despacho nº 15 del Departamento de Análisis Matemático.

Si necesitas que te atienda en un horario diferente, por favor,  contacta conmigo: acanada@ugr.es     http://www.ugr.es/~acanada/

ANÁLISIS VECTORIAL ,   Grado en Matemáticas                                                                                             Cursos anteriores  

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES.  Cuarto curso de Matemáticas.                                              Trabajos fin de Grado

ANÁLISIS NO LINEAL Y ECUACIONES DIFERENCIALES  Master Fisymat                                              Libro de texto      

 

 

 

 

ANÁLISIS VECTORIAL. Curso 2017/18.

Guía docente     pdf

Información añadida a a la guía docente   

Libro de texto: Serge Lang, Calculus of Several Variables, Third edition, Springer, 1987.

Me gusta mucho el libro anterior: es claro, riguroso y con numerosos ejercicios resueltos.

Temas teóricos para la prueba parcial del 3 de Noviembre de 2017 (aula A22, 13h-14.30h)   PDF

Enlaces a páginas relacionadas    

http://www.ugr.es/~rpaya/cursosanteriores.htm (Asignatura: Fundamentos Matemáticos I).

http://www.ugr.es/~fjperez/apuntes.html (Asignatura: Cálculo Vectorial. Series de Fourier.Teorema de los Residuos)

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/index.htm

 

 

ANÁLISIS NO LINEAL Y ECUACIONES DIFERENCIALES. Curso 2016/17.   Fisymat.

 

 El curso se impartirá todos los jueves y viernes lectivos,  de 8.30 h. a 10 h, en la sala de conferencias (planta baja de la sección de Matemáticas), a partir del jueves 26 de enero de 2017.     


- Información general del curso (programa, bibliografía, evaluación, etc.)  
Guía docente   Máster Universitario en Física y Matemáticas Fisymat

- Material docente     

- El Teorema de Bolzano, una herramienta potente para el estudio de sistemas de ecuaciones   Arhimede Mathematical Journal, vol. 3, 2016, 2-17   PDF   

- ¿El Teorema de Bolzano en varias variables?  Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, RSME,  vol. 7.1, 2004, 101-121   PDF  

- José Félix Sánchez Martínez . El Teorema de Bolzano y Sistemas de Ecuaciones,  Curso 2015/16   (Trabajo fin de grado)      

 Nociones generales de Cálculo de Variaciones:  PDF     

 Introducción al análisis no lineal con aplicaciones a ecuaciones diferenciales e integrales   PDF    

- Algunos ejercicios y temas propuestos para entregar al profesor durante el curso 2016/17:

 

- Enlaces a páginas relacionadas:

       ERIC WEISSTEIN'S world of Mathematics. Página muy útil para consultar temas muy diversos relacionados con los conceptos del curso.  

                             http://mathworld.wolfram.com/BrouwerDegree.html

                       http://mathworld.wolfram.com/FixedPointTheorem.html

                        http://mathworld.wolfram.com/topics/CalculusofVariations.html

      ERIC WEISSTEIN'S world of Physics. Similar a la anterior, pero sobre temas de Física

                     http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/LagrangianMechanics.html

 

 

 

 

Cursos anteriores

ANÁLISIS FUNCIONAL ,   Grado en Matemáticas 

ANÁLISIS DE FOURIER ,   Grado en Matemáticas 

MÉTODOS VARIACIONALES Licenciatura en Matemáticas

 ANÁLISIS CONVEXO Y OPTIMIZACIÓN ,    Licenciatura en Matemáticas

FÍSICA MATEMÁTICA: ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES E INTEGRALESLicenciatura en Física

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES.  Tercer curso de Ingeniería de Caminos, C. y P.

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES.  Cuarto curso de Matemáticas.

SEMINARIO DE HISTORIA DE LA MATEMÁTICA.  Optativa de segundo ciclo de Matemáticas.

ANÁLISIS MATEMÁTICO I. Licenciatura en Ciencias y Técnicas Estadísticas

CÁLCULO DE VARIACIONES Y OPTIMIZACIÓN.  Programa de Posgrado en Física y Matemáticas,  Fisymat.

 

 

Trabajos fin de Grado y similares.

Oscar Cortadellas Izquierdo.  Series de Taylor y Series de Fourier,una novela histórica,  Curso 2004/05.  

Francisco Nogueras Lara y Francisco Rivas García. La obra científica de Isaac Newton, Curso 2009/10.  

Alejandra Torres Martínez. Series de Taylor y Series de Fourier: un estudio comparativo, Curso 2014/15

Mercedes López Ortega . Una perspectiva histórica de los Métodos  de Fourier,  Curso 2015/16

José Félix Sánchez Martínez . El Teorema de Bolzano y Sistemas de Ecuaciones,  Curso 2015/16

Miguel López Pérez .  El Teorema de Lax-Milgram: origen, generalizaciones y aplicaciones,  Curso 2016/17

Manuel Ruiz Cárdenas .  Conjuntos de unicidad para series trigonométricas,  Curso 2016/17

 

 

 

ANÁLISIS DE FOURIER .  Curso 2016/17.  Cuarto curso del Grado en  Matemáticas

 

Descripción: Descripción: Descripción: E:\tony\paginaweb\iconos\Cantor.jpgG. Cantor  Descripción: Descripción: Descripción: E:\tony\paginaweb\iconos\fourier.jpgJ. Fourier  Descripción: Descripción: Descripción: E:\tony\paginaweb\iconos\Lebesgue.jpgH. Lebesgue

 

"Los métodos de Fourier no son solamente uno de los resultados más hermosos del análisis moderno, sino que puede decirse además que proporcionan un instrumento indispensable en el tratamiento de casi todas las cuestiones de la física actual, por recónditas que sean" . William Thomson ( Lord Kelvin), 1824-1907.

   -  Información general (guía docente de la asignatura, programa, bibliografía, evaluación, etc.)   GUÍA DOCENTE

   -  Examen extraordinario : 12 de Julio de 2017, de 17 a 20 h, en el aula M03.

   -  Examen final : 30 de Enero de 2017, de 16 a 19 h, en el aula G04.

   -  Primera prueba parcial: 8 de Noviembre de 2016, de 9 a 11 h, en el aula M01.

   -Orientaciones generales sobre el contenido de la asignatura:   (todas las fuentes bibliográficas que se citan se pueden consultar en mi despacho o en la biblioteca del Departamento de Análisis Matemático).

Capítulo I: Introducción y motivación.  

Seguiremos básicamente la "Introducción histórica" de: A. Cañada, Series de Fourier y Aplicaciones, Pirámide 2002. Asimismo, es de gran utilidad para todos los temas históricos, hasta comienzos del siglo XX: M. Kline, Mathematical thought from ancient to modern times, Oxford University Press, 1972. Versión española en Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1992.

Pueden ser también útiles los siguientes archivos:  PDF     PDF     PDF    (de éste último, sólo las tres primeras páginas) y la página    

 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html

que se ha convertido, hoy en día, en una página de obligada referencia para todos aquellos interesados en la historia de la matemática.

Aquellos que tengan interés en la deducción de la ecuación del calor, pueden consultar el archivo  PDF   (páginas 5 a 10).

Capítulo II: Series de Fourier y aplicaciones. 

Seguiremos básicamente el Capítulo I  "El espacio L^2 (a,b)"  y el Capítulo II "Series de Fourier", de: A. Cañada, Series de Fourier y Aplicaciones, Pirámide 2002.

Asimismo, pueden ser útiles los archivos     PDFI     PDFII       Teorema de Lebesgue (base trigonométrica)   PDF

y las referencias siguientes: 

- T. W. Körner. Fourier analysis. Cambridge University Press, 1988. Capítulo III.

- C.S. Rees, S.M. Shah y C.V. Stanojevic. Theory and Applications of Fourier Analysis. Marcel Dekker, 1981. Capítulo 2.   

Capítulo III: Transformada de Fourier y aplicaciones.   Recomendaciones válidas para el curso 2013/14

Los resultados fundamentales se pueden consultar en el libro de W. Rudin "Análisis real y complejo", capítulo IX, así como en los libros de T.W. Körner (capítulo IV) y  C.S. Rees-S.M. Shah-C.V. Stanojevic (capítulo VI),  anteriormente mencionados. Para las aplicaciones a las ecuaciones de la física matemática, es recomendable el libro de  A.N. Tíjonov y A.A. Samarski: "Ecuaciones de la física matemática, Mir, 1980".

El archivo    PDF  titulado "LECCIONES SOBRE LAS SERIES Y TRANSFORMADAS DE FOURIER" , puede ser de gran utilidad para este capítulo, así como para el resto de la asignatura. Su autor es  Javier Duoandikoetxea, del Departamento de Matemáticas de la Universidad del País Vasco (el autor me ha permitido colocarlo aquí).

 

- Resumen de los capítulos I y II (curso 2015/16), realizado por el alumno Sergio Cruz Blázquez   PDF    

- Algunos archivos ilustrando la convergencia puntual de Series de Fourier y el fenómeno de Gibbs (realizados con el programa Mathematica)   PDF     PDF     PDF

 

- Exámenes realizados:   29/11/2013   PDF       17/01/2014   PDF     05/02/2014   PDF     01/09/2014   PDF     18/11/2014   PDF     23/01/2015   PDF     04/02/2015   PDF1   PDF2      01/09/2015   PDF     11/11/2015   PDF     15/01/2016   PDF    5/02/2016   PDF     5/02/2016 (para matrícula de honor)    PDF     3/09/2016   PDF     8/11/2016   PDF     30/01/2017     PDF     12/07/2017   PDF

 

 - Páginas relacionadas. 

 - Página de un curso que se imparte en el Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Rochester.  Son también útiles los cursos ME223 (calor) y ME443 (vibraciones).

- The MacTutor History of Mathematics archive. Página muy completa e interesante sobre Historia de las Matemáticas. Es muy útil para entender la evolución de la teoría de EDP, así como para conocer los Matemáticos que han intervenido de manera fundamental en esta materia a lo largo de la historia. 

ERIC WEISSTEIN'S world of Mathematics. Página especialmente útil para consultar temas muy diversos y por las conexiones que establece entre los mismos.    http://mathworld.wolfram.com/FourierAnalysis.html

 

ANÁLISIS FUNCIONAL .  Curso 2016/17.  Tercer curso del Grado en  Matemáticas

 

  Marcel Riesz                                              Stefan Banach                                        David Hilbert

 

"The infinite. No other question has ever moved so profoundly the spirit of man"  David Hilbert (1921)

-  Guía docente de la asignatura  (programa, bibliografía, evaluación, etc.)     GUÍA DOCENTE

-  Examen extraordinario: 10 de Julio de 2017 , de 10 a 13 h. en el aula A12.

-  Examen final: 23 de Enero de 2017 , de 10 a 13 h. en el aula A12.

-  Pruebas parciales:   9 de Noviembre de 2016, de 16 a 18 h., en el aula G01 (sección de Geología)

                                 13 de enero de 2017, de 10 a 12 h., en el aula A22.

 -  Temas para EL EXAMEN FINAL DEL 23 DE ENERO DE 2017 y para el EXAMEN EXTRAORDINARIO DE 10 DE JULIO DE 2017     PDF

-  Temas para la prueba parcial del 9 de Noviembre de 2016     PDF

-  Temas para la prueba parcial del 13 de Enero de 2017     PDF

 

- Relación de problemas nº 1      PDF  (curso 2016/17)    Relación de problemas nº 2      PDF  (curso 2016/17)   

  Relación de problemas     PDF  (curso 2015/16)    Relación de problemas     PDF  (curso2015/16)  

- Orientaciones generales sobre el contenido de la asignatura:   (todas las fuentes bibliográficas que se citan se pueden consultar en mi despacho o en la biblioteca del Departamento de Análisis Matemático). Oportunamente se irá actualizando el contenido de este apartado.

Notas históricas sobre el origen, desarrollo y estado actual del Análisis Funcional.   

Es de gran utilidad para todos los temas históricos, hasta comienzos del siglo XX: M. Kline, Mathematical thought from ancient to modern times, Oxford University Press, 1972, Capítulo 42 (versión española en Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1992).

También puede consultarse: J. Dieudonné, History of Functional analysis. North-Holland, 1981.

La página      http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html  se ha convertido, hoy en día, en una página de obligada referencia para todos aquellos interesados en la historia de la matemática.

Se pueden mirar, por ejemplo, las biografías de René Baire,  Stefan Banach, Marcel Riesz  y David Hilbert.

El artículo de Garrett Birkhoff y Erwin Kreyszig: " The establishement of Functional analysis", Historia Matematica, 11 (1984), 258-321, es recomendable. Éste es el resumen:

This article surveys the evolution of functional analysis, from its origins to its establishment

as an independent discipline around 1933. Its origins were closely connected with the

calculus of variations, the operational calculus. and the theory of integral equations. Its

rigorous development was made possible largely through the development of Cantor’s

Mengenlehre,” of set-theoretic topology, of precise definitions of function spaces, and of

axiomatic mathematics and abstract structures. For a quarter of a century, various outstanding

mathematicians and their students concentrated on special aspects of functional analysis,

treating one or two of the above topics. This article emphasizes the dramatic developments

of the decisive years 1928-1933, when functional analysis received its final unification.

 

Tema I, parte primera: espacios normados.   

El alumno debe entender adecuadamente:

- Los conceptos básicos de los espacios normados, estudiando  ejemplos variados de espacios normados (espacios l_p de sucesiones,  espacios de funciones continuas y derivables y  espacios L_p de funciones,  con las normas usuales). Debe familiarizarse, en este ambiente general, con la topología y  distancia derivadas de la norma, sucesiones convergentes, sucesiones de Cauchy, etc.

- Particularidades destacables de las aplicaciones lineales y continuas (continuidad y acotación, por ejemplo) así como las diferencias fundamentales con las aplicaciones continuas no lineales. Debe practicar con el cálculo de normas de los elementos del espacio dual de un espacio normado

- Diferencias fundamentales que existen entre los espacios normados de dimensión finita e infinita, referentes, entre otras a: normas equivalentes, teorema de Bolzano-Weierstrass, compacidad de las bolas cerradas, espacio dual algebraico y dual topológico.

Las siguientes referencias bibliográficas pueden ser adecuadas:

G. Choquet. Topología. Toray-Masson, S.A. Barcelona, 1971: Capítulo III, apartado II. Para consulta de conceptos previos, son útiles: Capítulo I, apartados II y III.

H. Brezis. Análisis Funcional. Alianza Universidad, Madrid, 1984. Capítulo IV, apartados IV.1 y IV.2

L. Liusternik y V. Sobolev. Elements of Functional Analysis. Frederick Ungar Publishing Company, New York, 1961. Capítulos II y III. Es uno de los libros sobre Análisis funcional que más me gusta. Entre otras cosas es una enciclopedia de ejemplos. 

Tema I, parte segunda: sobre los principios básicos del Análisis Funcional.   

-Para el Teorema de Hahn-Banach (y los teoremas de separación de conjuntos convexos, si ha lugar) seguiremos el libro:  H. Brezis. Análisis Funcional. Alianza Universidad, Madrid, 1984, apartados I.1 y I.2.  Archivo "casero" del T-H-B   PDF

Una de las numerosas aplicaciones de los teoremas de separación son los llamados Teoremas tipo alternativa para sistemas de inecuaciones lineales. Por ejemplo, los Teoremas de Gordan y Farkas de gran interés en Economía.  Aplicaciones de estos últimos teoremas a programación lineal puede verse en el libro: Olvi L. Mangasarian: Nonlinear Programming, SIAM, 1.994. Capítulo 2.

- Los teoremas de Baire,  Banach -Steinhaus  (PDF),   de la aplicación abierta  (PDF) (y de la gráfica cerrada  (PDF), se pueden ver en  H. Brezis. Análisis Funcional. Alianza Universidad, Madrid, 1984, apartados II.1, II.2 y II.3.

El alumno debe practicar con ejemplos diversos para familiarizarse con la noción  de categoría (de Baire), así como entender adecuadamente la potencia del Teorema de Baire.

El siguiente archivo (sobre el Teorema de la aplicación abierta)  puede ser útil   PDF

 

Tema II: espacios de Hilbert.      

- Seguiremos básicamente el libro:  H. Brezis. Análisis Funcional. Alianza Universidad, Madrid, 1984, apartados V.1, V.2 y V.4. El alumno debe entender, especialmente, lo que se refiere a:

- Ejemplos de espacios prehilbertianos y de Hilbert en dimensión infinita (espacios de sucesiones y espacios de funciones). Espacios l_p

- Teorema de la proyección sobre un convexo cerrado no vacío. Particularidades del caso en el que el citado conjunto es un subespacio vectorial cerrado. Teorema y Reflexiones

- Identificación entre un espacio de Hilbert y su dual topológico.

- Existencia y caracterización de bases hilbertianas en dimensión infinita. Propiedades fundamentales dl desarrollo de Fourier.

- Bases hilbetianas obtenidas a través de los operadores compactos y autoadjuntos. Ejemplos de problemas de contorno del tipo Sturm-Liouville.

 

Los siguientes archivos pueden ser útiles: - sobre la ley del paralelogramo PDF  

                                                                 - sobre la existencia de bases hilbertianas   PDF

                                                                 -ejercicio 15, relación segunda    PDF  (sustitúyase L^2 (a,b) por H)

-  Enlaces a páginas relacionadas: 

- The MacTutor History of Mathematics archive.   Página muy completa e interesante sobre Historia de las Matemáticas. Es muy útil para entender la creación y evolución del análisis funcional, así como para conocer los Matemáticos que han intervenido de manera fundamental en esta materia a lo largo de la historia. 

- http://mathworld.wolfram.com/topics/FunctionalAnalysis.html     ERIC WEISSTEIN'S World of Mathematics. Página especialmente útil para consultar temas muy diversos y por las conexiones que establece entre los mismos.    

 

-  Exámenes realizados: 

12/11/2014   PDF     19/01/2015   PDF     26/01/2015    PDF   18/11/2015   PDF     20/01/2016   PDF     9/02/2016    PDF     09/02/2016 (para matrícula de honor)   PDF

16/09/2016   PDF     9/11/2016   PDF     13/01/2017    PDF     23/01/2017   PDF      10/07/2017   PDF

 

 

 

MÉTODOS VARIACIONALES .   Quinto curso de Matemáticas

 

      Leonhard Euler                                                Joseph-Louis Lagrange                                   David Hilbert

 

 

Aquí encontrarás : Información general de la asignatura, resumen de las ideas fundamentales, temas para la exposición en clase  y finalmente algunos enlaces a páginas relacionadas. 

-  Convocatoria de Septiembre de 2015: 18/09/2015, a las 16 h. en el  Seminario del Departamento de Análisis Matemático (Facultad de Ciencias).

-  Convocatoria de Febrero de 2015: 04/02/2015, a las 16 h. en el aula A22.

-  Información general (programa, bibliografía, evaluación, etc.)    DOC

-  Resumen de los contenidos fundamentales.   PDF

 Muchas de las  orientaciones generales sobre el contenido de la asignatura   Análisis convexo y Optimización, pueden ser útiles para ésta de Métodos Variacionales.

-  Temas que expusieron los alumnos a partir del 14 de Enero de 2013:   PDF     Oportunamente se actualizarán para este curso.

 

-  Exámenes realizados.   02/02/2010 PDF     28/01/2014  PDF    09/02/2012 PDF    07/02/2013 PDF   28/11/2014  PDF     23/24 Enero 2014   PDF     05/07/2014   PDF     19/09/2014   PDF

 

-  Enlaces a páginas relacionadas. 

  ERIC WEISSTEIN'S world of Mathematics. Página muy útil para consultar temas muy diversos relacionados con los conceptos del curso.  

                        http://mathworld.wolfram.com/topics/CalculusofVariations.html

      ERIC WEISSTEIN'S world of Physics. Similar a la anterior, pero sobre temas de Física

                     http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/LagrangianMechanics.html  

 

 

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ANÁLISIS CONVEXO Y OPTIMIZACIÓN .   Quinto curso de Matemáticas

 

  Hermann Minkowski                                      Hans Hahn                                                   Stefan Banach

 

 

Aquí encontrarás : Información general de la asignatura, resumen de las ideas fundamentales, temas para la exposición en clase  y finalmente algunos enlaces a páginas relacionadas. 

-  Información general (programa, bibliografía, evaluación, etc.)    DOC

-  Notas y apuntes que pueden ser interesantes      PDFMV         Estas notas las elaboré para la asignatura "´Métodos Variacionales", optativa de segundo ciclo de Matemáticas. No obstante, el contenido de las páginas 1 a 35  puede también ser de interés para la asignatura "Análisis Convexo y Optimización".

-  Temas que expondrán los alumnos a partir del 14 de Enero de 2013 :  PDF   

-  Exámenes.     15/02/2011    PDF                03/02/2012   PDF     PDF                01/02/2013   PDF

- Orientaciones generales sobre el contenido de la asignatura:   (todas las fuentes bibliográficas que se citan se pueden consultar en mi despacho o en la biblioteca del Departamento de Análisis Matemático).

Capítulo I: Introducción, motivación y notas históricas.

Los orígenes del cálculo diferencial e integral, en relación con problemas de optimización están muy bien expuestos en : M. Kline, Mathematical thought from ancient to modern times. Oxford University Press, New York, 1.972. Capítulo 17. Traducción al castellano en Alianza Editorial, Madrid, 1.992. Particularmente conviene ver con detalle las aportaciones de Fermat, Leibniz y Newton, comparando sus  respectivas ideas y métodos. Este libro es el mejor que conozco sobre historia de las matemáticas (desde sus orígenes hasta principios del siglo XX).  

Sobre el nacimiento del cálculo de variaciones y cuestiones relacionadas con la ecuación de Euler-Lagrange, pueden consultarse:

           M. Kline, Mathematical thought from ancient to modern times. Oxford University Press, New York, 1.972. Capítulo 24.

          E. Kreyszig, On the Calculus of Variations and its Major Influences on the Mathematics of the First Half of Our Century, Part I. The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 7, 1994, 674-678. 

          E. Kreyszig, On the Calculus of Variations and its Major Influences on the Mathematics of the First Half of Our Century, Part I. The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 9, 1994, 902-908. 

Los dos últimos son artículos cortos, pero donde se reflejan de manera precisa y clara, las ideas fundamentales del cálculo de variaciones, desde sus orígenes (Johann Bernoulli y el problema de la braquistocrona) hasta el llamado cálculo de variaciones global (teoría de Morse), pasando por algunas ideas fundamentales del análisis funcional.

Sobre los orígenes históricos de la programación lineal y no lineal, así como sobre el Teorema de Karush-Kuhn-Tucker,  puede consultarse el artículo:

          T. H. Kjeldsen. A Contextualized Historical analysis of the Kuhn-Tucker Theorem in Nonlinear Programming: The Impact of World War II, historia Mathematica, Vol. 27, 2000, 331-361.

Me gustó mucho este artículo cuando lo leí. Por una parte, se ponen de manifiesto de manera clara las diferentes motivaciones matemáticas (problemas de programación lineal, extremos condicionados en cálculo de variaciones, problemas de geometría convexa, respectivamente) que llevaron a H. W. Kuhn y A. W. Tucker (1950), W. Karush (1939) y F. John (1948) a obtener, "prácticamente el mismo resultado",  sobre las condiciones necesarias que ha de satisfacer la solución de un problema de programación no lineal. Por otra, se aportan diferentes datos sobre el contexto social de la época, incluyendo el papel jugado por la investigación e interés militar en este tipo de problemas.  

Las notas citadas con anterioridad  PDFMV también pueden ser útiles para el contexto histórico de los problemas de cálculo de variaciones (páginas 1 a 11).

Finalmente, en el artículo:  R. J. Dwilewicz. "A Short History of Convexity", differential Geometry-Dynamical Systems, Vol. 11, 2009, 112-129, puede encontrarse una buen resumen de la historia de la noción de convexidad,  desde la definición dada por Arquímedes y los "cinco sólidos platónicos" hasta su relación reciente con la geometría algebraica, ecuaciones en derivadas parciales, análisis complejo y optimización en espacios normados.

Como ya sabemos, la página web THE MACTUTOR HISTORY OF MATHEMATICS ARCHIVE  http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html      es imprescindible hoy en día para cualquier tema relacionado con la historia de las matemáticas.

 

Capítulo II: Conjuntos convexos y funciones convexas. 

Para la noción de conjunto convexo, propiedades fundamentales de los mismos, etc.  pueden consultarse:

          E. A. L. Peressini, F. E. Sullivan y J.J. Uhl, Jr. The Mathematics of Nonlinear Programming, Springer- Verlag, 1988. Capítulo 2, apartados 2.1 y 2.2.

 Las propiedades elementales de los conjuntos convexos están bien expuestas en este libro, aunque la notación, a veces, es algo engorrosa. Además, pueden consultarse algunas aplicaciones de la noción de convexidad en Economía (modelos de producción lineales).  Para propiedades más avanzadas es conveniente el libro J. V. Tiel. Convex Analysis, an introductory text, John Wiley and Sons, 1984. Capítulos 2 y 4.

Los teoremas de separación de conjuntos convexos los vamos a obtener como una continuación natural de los tratados en la asignatura de análisis funcional. Es especialmente recomendable el libro: H. Brezis, Análisis Funcional, Alianza Editorial, 1984, Capítulo I (es uno de los mejores libros de análisis funcional que conozco). Una de las numerosas aplicaciones de los teoremas de separación son los llamados Teoremas tipo alternativa para sistemas de inecuaciones lineales. Nosotros demostraremos los Teoremas de Gordan y Farkas.  Aplicaciones de estos últimos teoremas a programación lineal puede verse en el libro: Olvi L. Mangasarian: Nonlinear Programming, SIAM, 1.994. Capítulo 2.

 La definición y propiedades fundamentales de las funciones convexas están también adecuadamente tratadas en el libro de Pressini, anteriormente citado,  Capítulo 2, apartado 2.3.  Las notas  PDFMV también pueden ser útiles para la relación entre la convexidad de una función y el carácter monótono de su vector gradiente (páginas 22 a 24). 

Los apartados 2.4, 2.5 y 2.6 del libro de Peressini contienen diversas aplicaciones de las funciones convexas en el estudio de algunos problemas de minimización interesantes, que no pueden tratarse (al menos en una primera impresión) con el método de los multiplicadores de Lagrange. Asimismo se obtienen algunas desigualdades clásicas (Young, Cauchy-Schwarz, Hölder, Minkowski, etc.), de manera relativamente sencilla.  La desigualdad aritmético-geométrica es especialmente interesante, por su sencillez y utilidad.

Las siguientes referencias pueden usarse para profundizar en la noción de convexidad y función convexa:

Olvi L. Mangasarian: Nonlinear Programming, SIAM, 1.994. Capítulos 3, 4 y 6. Para el tema de conjuntos convexos y funciones convexas, me gusta mucho este libro; la introducción de los conceptos y las demostraciones es directa y clara. No obstante, apenas contiene problemas y aplicaciones.

Jan V. Tiel: Convex Analysis, John Wiley & Sons, 1984.  En mi opinión, y para el nivel de esta asignatura, éste es un libro avanzado. Es muy bueno para profundizar en la íntima relación relación que existe entre la noción de convexidad y muchos conceptos de análisis funcional (teorema de Hahn-Banach, subdiferenciabilidad, operadores monótonos, etc.). 

J. L. Troutman: Variational Calculus and Optimal Control, Springer-Verlag, 1996. Este libro es muy recomendable si se quieren consultar aplicaciones de la noción de convexidad, sobre todo a problemas del cálculo de variaciones.

 

Capítulo III: Programación convexa.  

El resultado fundamental de este capítulo es el Teorema de Karush-Kuhn-Tucker-John, sobre la existencia de mínimos (globales o locales)  para problemas con restricciones dadas por igualdades y desigualdades.  Conviene que, al finalizar este capítulo, el alumno vuelva a leer el siguiente artículo, que lo recomendamos para el capítulo I

 T. H. Kjeldsen. A Contextualized Historical analysis of the Kuhn-Tucker Theorem in Nonlinear Programming: The Impact of World War II, Historia Mathematica, Vol. 27, 2000, 331-361.

Seguro que lo entenderá mucho mejor y verá las cosas con otra perspectiva. 

La versión del Teorema de Karush-Kuhn-Tucker que enunciaremos y demostraremos en clase es la que aparece en el artículo de E.J. McShane: The Lagrange multiplier rule, The American Mathematical Monthly, vol. 80, 1973, 922-925. Este artículo me gustó mucho cuando lo encontré, por la profundidad y sencillez en la exposición.  

Otras versiones pueden verse en el libro E. A. L. Peressini, F. E. Sullivan y J.J. Uhl, Jr. The Mathematics of Nonlinear Programming, Springer- Verlag, 1988. Capítulo 5, apartados 5.2 y 5.3.

Esta versión tiene ventajas e inconvenientes (como todo en la vida), pero la considero muy apropiada para este nivel. En primer lugar, la demostración de la parte suficiente del Teorema es directa, elemental y sencilla. La demostración de la parte necesaria es más dificultosa, llena de conceptos, definiciones, etc. No obstante, se aprenden cosas interesantes; destaquemos dos: la existencia de vectores subgradiente para funciones convexas (no necesariamente derivables) en puntos interiores de su dominio y la versión punto de silla del  Teorema de Karush-Kuhn-Tucker.  Debemos destacar que para la condición suficiente de la versión del punto de silla, no necesitamos convexidad de las funciones implicadas.

El alumno debe practicar con diferentes ejemplos y ejercicios propuestos en el libro anteriormente citado. Se dará cuenta de que, a pesar de la magnitud del Teorema, su aplicación concreta no es fácil (esto no debe extrañarnos si hemos practicado suficientemente con el clásico Teorema de los multiplicadores de Lagrange).

El principal inconveniente que tiene el Teorema del libro de Peressini y otros es que para obtener las condiciones necesarias se imponen hipótesis de convexidad, tanto sobre la función a minimizar como sobre las restricciones dadas por desigualdades.

Versiones no convexas de las condiciones necesarias se pueden ver (además de en el artículo de McShane, mencionado con anterioridad), en

Olvi L. Mangasarian: Nonlinear Programming, SIAM, 1.994. Capítulo 7, apartado 7.3.7.

La demostración de este último libro usa dos ideas y herramientas fundamentales: la linealización de las funciones dadas y teoremas de la alternativa para sistemas de ecuaciones lineales, que son interesantes por sí mismos (sobre todo por sus múltiples aplicaciones a Economía).

Los temas que expondrán los alumnos en clase (véanse un poco más arriba) completarán notablemente la información proporcionada por el Teorema de K-K-T en este capítulo. 

 

Capítulo IV: Convexidad y cálculo de variaciones.

Páginas 1 a 35  de los apuntes  PDFMV 

 

-  Enlaces a páginas relacionadas. 

  ERIC WEISSTEIN'S world of Mathematics. Página muy útil para consultar temas muy diversos relacionados con los conceptos del curso.  

                        http://mathworld.wolfram.com/topics/CalculusofVariations.html

      ERIC WEISSTEIN'S world of Physics. Similar a la anterior, pero sobre temas de Física

                     http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/LagrangianMechanics.html  

 

 

FÍSICA MATEMÁTICA (ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES E INTEGRALES) .  Curso 2009/10. Segundo curso de la licenciatura en FÍSICA.

 

Aquí encontrarás: Información general de la asignatura, resumen de cada capítulo  (donde se incluye: conocimientos previos necesarios, resumen de los contenidos fundamentales, bibliografía recomendada, actividades complementarias y relación de ejercicios),  prácticas de ordenador con el programa Mathematica, exámenes y finalmente algunos enlaces a páginas relacionadas. 

                        Descripción: Descripción: Descripción: E:\tony\paginaweb\iconos\fourier.jpg    J. Fourier            Descripción: Descripción: Descripción: E:\tony\paginaweb\iconos\Maxwell.jpg J. Maxwell         Descripción: Descripción: Descripción: E:\tony\paginaweb\iconos\Helmholtz.jpg  H. Helmholtz   

 

-  Información general (programa, bibliografía, evaluación, etc.)  DOC

 

 - Resúmenes de los Capítulos:  

                 - Capítulo I (Introducción y motivación)   PDF     PS          También puede ser de interés la página     http://mathworld.wolfram.com/PartialDifferentialEquation.html  donde se muestra una amplia variedad de EDP de utilidad en Física.

                  - Capítulo II (La ecuación de ondas)        PDF    

Material complementario de este capítulo:     Ondas1.nb     Ondas2.nb  En estos dos ejemplos se aprecian claramente la onda que se desplaza hacia la derecha, y la que se desplaza hacia la izquierda. Al superponer ambas ondas, se obtiene la solución.

                                                                    Ondas3.nb  Aquí se aprecian los efectos de la superposición de las ondas.

Sesión práctica sobre el problema de Cauchy para la ecuación de ondas, basada en este archivo   Notebook

Sesión práctica sobre convergencia de series de Fourier, basada en este archivo Notebook

                - Capítulo III (La ecuación del calor)       PDF   

                -  Capítulo IV (La ecuación del potencial)      PDF   

 

 Enlaces a páginas relacionadas:

- Página de un curso que se imparte en el Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Rochester.  Son también útiles los cursos ME223 (calor) y ME443 (vibraciones).

- ERIC WEISSTEIN'S world of PhysicsPágina muy interesante para conceptos diversos de Física y Matemáticas. 

- Página del profesor Sheldon Axler (College of Science and Engineering, San Francisco State University). Este profesor ha elaborado el paquete de Mathematica HFT.m que es de una gran utilidad en el tema de la ecuación del potencial. El paquete lo ofrece de manera gratuita en la dirección indicada. 

- The MacTutor History of Mathematics archive. Página muy completa e interesante sobre Historia de las Matemáticas. Es muy útil para entender la evolución de la teoría de EDP, así como para conocer los Matemáticos que han intervenido de manera fundamental en esta materia a lo largo de la historia. Para los estudiantes de Física es especialmente interesante el aparatado sobre Física Matemática.

- Exámenes :          11/06/2008   PDF     PS             31/03/2009    PDF    PS       02/06/2009    PDF        01/07/2009   PDF      20/04/2010   PDF      07/06/2010   PDF     14/06/2010   PDF

- Exámenes de una asignatura similar correspondiente a Ingeniería de Caminos :

                                             21/12/2004,  PDF   PS   

                                             03/02/2005 . PDF   PS         07/09/2005,   PDF1    PDF2    PS1    PS2 

                                             03/02/2006 , PDF1    PDF2     PS1    PS2    07/09/2006,  PDF1    PDF2     PS1    PS2

                                             02/02/2007,  PDF1    PDF2     PS1    PS2    05/09/2007,  PDF1    PDF2     PS1    PS2

- Trabajos realizados por los alumnos.  Durante el curso 2009/10, los alumnos Francisco Nogueras Lara y Francisco Rivas García elaboraron un trabajo de carácter histórico sobre la obra científica de Isaac Newton. Me lo comentaron, me pareció interesante y lo expusieron en clase. Como el contenido me impresionó muy gratamente, les propuse poner el trabajo en esta página  y accedieron gustosamente. Éste es el trabajo, que en mi opinión puede ser muy útil para los estudiantes de Física y Matemáticas:   PDF  

 

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I . Curso 2008/09. Licenciatura en C. y T. Estadísticas

-  Información general (programa, bibliografía, evaluación, etc.)  DOC  Por favor, préstese una atención especial al sistema de evaluación continua. Habrá  exámenes parciales los días  4 de Noviembre, 2 de Diciembre y 20 de Enero, a las 9 h. Puede presentarse cualquier alumno matriculado en la asignatura.

- Exámenes:  El  examen extraordinario de Septiembre se celebrará el 18/09 a las 10 h. en el aula A23 de la Facultad de Ciencias.

-  Información por bloques temáticos

- Espacios vectoriales. Los conceptos fundamentales se encuentran en el capítulo I del libro de Barbolla y Sanz, recomendado en la bibliografía del curso. Debemos hacer un hincapié especial en entender:  

Concepto de base de un espacio vectorial, y ser capaces de comprobar si determinados conjuntos son base o no de los espacios R^n. Cálculo de bases en los espacios usuales (R^n, matrices, polinomios, etc.). Espacios vectoriales "elementales" de dimensión infinita.

Concepto de coordenadas de un vector, respecto de una base dada. Cálculo de coordenadas usando diferentes bases.

Se recomiendan especialmente los ejercicios nº 7, 9, 10 y 12 de dicho capítulo. 

El libro de Merino-Santos, recomendado en la bibliografía, es también de interés para esta parte. 

- Matrices y aplicaciones lineales. Determinantes. Los conceptos fundamentales se encuentran en los capítulos II, III y IV del libro de Barbolla y Sanz, recomendado en la bibliografía del curso. Debemos hacer un hincapié especial en entender:

El uso de los determinantes y del rango de una matriz en el reconocimiento de dependencia e independencia lineal de vectores.

Cálculo de la matriz asociada a una aplicación lineal entre espacios vectoriales. 

Relación entre las operaciones con matrices y las operaciones con aplicaciones lineales, con especial atención a la composición de aplicaciones lineales y aplicación lineal inversa.

Se recomiendan especialmente los ejercicios: 1, 2, 8, 9 y  10 del capítulo II del libro citado; 

El libro de Merino-Santos, recomendado en la bibliografía, es también de interés para esta parte. 

- Diagonalización y formas canónicas de matrices. Funciones matriciales.  Los conceptos fundamentales se encuentran los capítulos VIII, IX y X del libro de Barbolla y Sanz, recomendado en la bibliografía del curso. Debemos hacer un hincapié especial en:

Entender adecuadamente el criterio de diagonalización de una matriz usando los valores y vectores propios de la misma. Concepto de multiplicidad algebraica y geométrica de una valor propio.

Cálculo de la forma canónica de Jordan de una matriz dada.

Aplicación de la diagonalización a la clasificación de formas cuadráticas. Descomposición de una forma cuadrática como "suma de cuadrados".

Uso de formas canónicas en el cálculo de algunas "funciones matriciales", especialmente: exponencial de una matriz y cálculo de la matriz inversa como una serie de potencias.

Se recomiendan especialmente los ejercicios 4-6 del capítulo VIII, 1, 3, 5, 9 y 10 del capítulo IX y 4 y 6 del capítulo X. 

El libro de Merino-Santos, recomendado en la bibliografía, es también de interés para esta parte. 

- Derivación matricial. Los conceptos fundamentales se encuentran en el capítulo V del libro de Barbolla y Sanz, recomendado en la bibliografía del curso. Debemos hacer un hincapié especial en entender:

Concepto de derivada matricial. Cálculo de derivadas matriciales.

Producto de Kronecker. propiedades básicas  y relación con la derivación matricial.

Se recomiendan especialmente los ejercicios 1-4 de este capítulo, así como el estudio de los ejemplos de las páginas 193 y 202.

- Espacios métricos y espacios normados. Los conceptos fundamentales se encuentran en el libro de Brezis, recomendado en la bibliografía del curso. También puede ser de utilidad la consulta de la página docente       http://euler.us.es/~renato/clases.html#clases-aa-af      del profesor Renato Álvarez Nodarse, de la Universidad de Sevilla, donde se puede encontrar un resumen de los contenidos fundamentales de esta parte, adaptados a esta licenciatura , así como ejercicios, exámenes, etc.

Debemos hacer un hincapié especial en entender:  

Concepto de métrica y espacio métrico. Métricas usuales en los espacios euclídeos de dimensión finita,  en los espacios de funciones y en los espacios de sucesiones. Cálculo de distancias con las métricas anteriores.

Bolas abiertas y bolas cerradas. Subconjuntos abiertos y subconjuntos cerrados. Interpretación gráfica de las distancias usuales en los espacios euclídeos de dimensión finita y de la distancia uniforme en los espacios de funciones. Relación entre la distancia uniforme y las distancias L_p .

Sucesiones convergentes, sucesiones de Cauchy. Espacios métricos completos.

Concepto de norma y de espacios normados. Normas usuales en los espacios euclídeos de dimensión finita,  en los espacios de funciones y en los espacios de sucesiones.

Normas equivalentes. Espacios normados de dimensión finita.

Aplicaciones lineales entre espacios normados. Aplicaciones lineales continuas.

- Espacios de Hilbert. Los conceptos fundamentales se encuentran en el libro de Brezis, recomendado en la bibliografía del curso. También puede ser de utilidad la consulta de la página docente       http://euler.us.es/~renato/clases.html#clases-aa-af      del profesor Renato Álvarez Nodarse, de la Universidad de Sevilla, donde se puede encontrar un resumen de los contenidos fundamentales de esta parte, adaptados a esta licenciatura , así como ejercicios, exámenes, etc.

Debemos hacer un hincapié especial en entender:  

Concepto de producto escalar. Normas y métricas derivadas de un producto escalar.

El espacio de Hilbert L^2 (a,b). Familiarización con los conceptos fundamentales  derivados de la convergencia.

Concepto de base hilbertiana en espacios de Hilbert separables de dimensión infinita. Bases de Fourier. 

-  Exámenes del curso 2008/09.            04/11/08   PDF       02/12/08   PDF       20/01/2009   PDF      09/02/2009   PDF

 

-  Exámenes de cursos anteriores.            03/12/07      PDF1      PS1     PDF2     PS2      21/01/08    PDF     PS     04/02/08    PDF     PS

                                                                   Otros exámenes PDF 

 

 ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES .  Cursos 2004/05 a 2006/07. Tercer curso de ICCP (CAMINOS)

Aquí encontrarás: Información general de la asignatura, resumen de cada capítulo  (donde se incluye: conocimientos previos necesarios, resumen de los contenidos fundamentales, bibliografía recomendada, actividades complementarias y relación de ejercicios),  prácticas de ordenador con el programa Mathematica, exámenes propuestos con anterioridad y finalmente algunos enlaces a páginas relacionadas. 

J. Fourier             J. Maxwell           H. Helmholtz 

-  Información general (programa, bibliografía, evaluación, etc.)  DOC

 - Información por Capítulos:  

                 - Capítulo I (Introducción y motivación)   PDF                                 

                 - Capítulo II (La ecuación de ondas).       PDF      

                    Material complementario de este capítulo para visualizar la propagación y superposición de las ondas así  como que las perturbaciones sobre las condiciones iniciales se propagan con velocidad finita    Ondas1.nb     Ondas2.nb     Ondas3.nb  Véase también la práctica realizada 02/11/2005. 

                 - Capítulo III (La ecuación del calor)      PDF    

                  - Capítulo IV (La ecuación del potencial. Cálculo de Variaciones )    PDF          

- Prácticas de cursos anteriores con el programa Mathematica

 2 de Noviembre de 2005. El problema de Cauchy para la ecuación de ondas. Notebook

14 de Diciembre de 2005. La ecuación del calor. Notebook

11 de Enero de 2006. La ecuación del potencial. Notebook.

20 de Octubre 2004. Convergencia de Series de Fourier  (Criterio de Dini. Fenómeno de Gibbs). Notebook

10 de Noviembre 2004. La ecuación de ondas (Problema de valores iniciales o de Cauchy). Notebook

15 de Diciembre 2004. La ecuación del calor (comportamiento asintótico de la solución). Notebook

26 de Enero 2005. La ecuación del potencial  (cálculo de soluciones, principio del máximo-mínimo). Notebook

 

- Exámenes ya realizados : 21/12/2004,  PDF   PS   

                                             03/02/2005 . PDF   PS         07/09/2005,   PDF1    PDF2    PS1    PS2 

                                             03/02/2006 , PDF1    PDF2     PS1    PS2    07/09/2006,  PDF1    PDF2     PS1    PS2

                                             02/02/2007,  PDF1    PDF2     PS1    PS2    05/09/2007,  PDF1    PDF2     PS1    PS2

 

 

 Enlaces a páginas relacionadas:

- Página de un curso que se imparte en el Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Rochester.  Son también útiles los cursos ME223 (calor) y ME443 (vibraciones).

- Página del profesor Sheldon Axler (College of Science and Engineering, San Francisco State University). Este profesor ha elaborado el paquete de Mathematica HFT.m que es de una gran utilidad en el tema de ecuaciones elípticas. El paquete lo ofrece de manera gratuita en la dirección indicada. 

- The MacTutor History of Mathematics archive. Página muy completa e interesante sobre Historia de las Matemáticas. Es muy útil para entender la evolución de la teoría de EDP, así como para conocer los Matemáticos que han intervenido de manera fundamental en esta materia a lo largo de la historia. 

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ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES .  Cursos 2003/04 a 2006/07.  Cuarto curso de Matemáticas

Aquí encontrarás: Información general de la asignatura, resumen de cada capítulo  (donde se incluye: conocimientos previos necesarios, resumen de los contenidos fundamentales, bibliografía recomendada, actividades complementarias y relación de ejercicios),  prácticas de ordenador con el programa Mathematica, exámenes propuestos con anterioridad y finalmente algunos enlaces a páginas relacionadas. 

J. Fourier              L. Dirichlet           D. Hilbert

-  Información general (programa, bibliografía, evaluación, etc.)   PDF   

 - Información por Capítulos.  

                 - Capítulo I (Introducción)                       PDF         

                 - Capítulo II (Problemas de tipo mixto)  PDF       

                 -  Capítulo III (Problemas de contorno)   PDF       

                 -  Capítulo IV (El problema de Cauchy)    PDF         

Prácticas programadas:

- 26 de Marzo de 2007 (9 de la mañana, aula C-31). Comportamiento asintótico de las soluciones de problemas de tipo mixto para la ecuación del calor.  Notebook 

- 17 de Abril de 2007 (9 de la mañana, aula C-31)  Comportamiento asintótico de las soluciones de problemas de tipo mixto para la ecuación de ondasNotebook 

- 17 de Mayo de 2007 (9 de la mañana, aula C-31).    El problema de Dirichlet en rectángulos de dimensión dos. Notebook 

  Práctica complementaria para disfrutar en  casa:  El problema de Dirichlet en la bola unidad del espacio euclídeo n-dimensional. Notebook    Archivo HFT.m

  

Enlaces a páginas relacionadas con la asignatura:

  - Eric W. Weisstein. Partial Differential Equation. Esta página es muy útil para consultar conceptos muy diversos de EDP (origen de las ecuaciones, tipos de ecuaciones, resultados principales, etc.).    

- Página de un curso se imparte en el Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Rochester.  Son también útiles los cursos ME223 (calor) y ME443 (vibraciones).

- Página del profesor Sheldon Axler (College of Science and Engineering, San Francisco State University). Este profesor ha elaborado el paquete de Mathematica HFT.m que es de una gran utilidad en el tema de ecuaciones elípticas. El paquete lo ofrece de manera gratuita en la dirección indicada. 

- The MacTutor History of Mathematics archive. Página muy completa e interesante sobre Historia de las Matemáticas. Es muy útil para entender la evolución de la teoría de EDP, así como para conocer los Matemáticos que han intervenido de manera fundamental en esta materia a lo largo de la historia. 

 

- Prácticas de cursos anteriores.

-  Curso 2005/06. 

- 16 de Marzo de 2006. Convergencia de Series de Fourier (Criterio de Dini. Fenómeno de Gibbs. Sumas de Fejér). Notebook (Mathematica 4.1),   Notebook (Mathematica 3.0)

- 27 de Abril de 2006. Comportamiento asintótico de las soluciones de problemas de tipo mixto para las ecuaciones del calor y de ondasNotebook 

- 1 de Junio de 2006. Problemas de contorno para ecuaciones elípticas 

   El problema de Dirichlet en la bola unidad del espacio euclídeo n-dimensional. Notebook    Archivo HFT.m

   El problema de Dirichlet en rectángulos de dimensión dos. Notebook 

 

-  Curso 2004/05.  Convergencia de series de Fourier, La ecuación del calor (Criterio de Dini. Fenómeno de Gibbs. Problemas de tipo mixto para la ecuación del calor)    Notebook     

Enlaces a páginas relacionadas con esta práctica http://scienceworld.wolfram.com/biography/Gibbs.html                                                         

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Gibbs.html 

http://mathworld.wolfram.com/GibbsPhenomenon.html

- Curso 2004/05. Problemas de contorno para ecuaciones elípticas.  Notebook

                      Otras prácticas de interés para ecuaciones elípticas. Notebook 

- Curso 2003/04. Convergencia de Series de Fourier  (Criterio de Dini. Fenómeno de Gibbs. Sumas de Fejér). Notebook (Mathematica 4.1),   Notebook (Mathematica 3.0)

-  Curso 2003/04. Ecuación del calor (regularidad de la solución, comportamiento asintótico, principio del máximo mínimo).  Notebook (Mathematica 4.1)

- Curso 2003/04. El Problema de Dirichlet (Cálculo explícito de la solución para datos polinomiales, principio del máximo mínimo, dependencia continua respecto de los datos de contorno). Notebook (Mathematica 4.1)

 

- Exámenes ya realizados:  18/06/2004   PDF    16/09/2004   PDF      

                                              26/04/2005  PDF      25/06/2005  PDF1    PDF2   

                                              22/09/2005  PDF1    PDF2   

                                              25/04/2006 PDF         28/06/2006   PDF    

                                              20/09/2006 PDF         02/05/2007   PDF    

                                              15/06/2007 PDF         14/09/2007   PDF    

 

  

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SEMINARIO DE HISTORIA DE LA MATEMÁTICA. Cursos 2004/05 a 2006/07. Optativa de segundo ciclo de Matemáticas.

¿Es posible entender una teoría si desde el primer momento se le da la forma definitiva que impone una lógica rigurosa, sin mencionar para nada el camino por el que ha llegado a adoptar esa forma? No, realmente no es posible entenderla, incluso resulta imposible retenerla si no es de memoria (J. H. Poincaré)

G. Cantor   J. Fourier   H. Lebesgue

Aquí encontrarás: Información general de la asignatura, resumen del módulo C,  prácticas de ordenador con el programa Mathematica,  enlaces a páginas relacionadas y algunos trabajos realizados por los alumnos en cursos anteriores. 

-  Temas propuestos para el curso 2006/07   PDF

- Contenidos fundamentales del módulo C: Series de Fourier y su papel en el desarrollo del Análisis Matemático.     PDF                    

                                        Material complementario   de cursos anteriores   PDF    PS

- Prácticas con el programa Mathematica

Convergencia de Series de Fourier  (Criterio de Dini. Fenómeno de Gibbs. Sumas de Fejér). Notebook (Mathematica 4.1),   Notebook (Mathematica 3.0)

 

-  Enlaces a páginas relacionadas:

The MacTutor History of Mathematics archive 

Página de Historia de la Matemática de la R.S.M.E.

 

- Trabajos de cursos anteriores:

Oscar Cortadellas Izquierdo (curso 2004/05): "Series de Taylor y series de Fourier". Me gustó mucho este trabajo cuando lo leí; es ameno y  con contenido matemático apropiado. Oscar me ha permitido ponerlo en esta página.  PDF 

 

CÁLCULO DE VARIACIONES Y OPTIMIZACIÓN. Curso 2015/16. Programa de Posgrado en Física y Matemáticas,  Fisymat.

 

AVISO: El curso se impartirá todos los jueves lectivos,  de 12.30  h. a 14.30 h, en la sala de conferencias (planta baja de la sección de Matemáticas), a partir del jueves 28 de enero de 2016.     


- Información general del curso (programa, bibliografía, evaluación, etc.)   Curso número 10 en la página        http://www.ugr.es/~fisymat/master/informacioncursos.htm

- Material docente        ( Parte impartida por Antonio Cañada,  2015/16).

 Nociones generales de Cálculo de Variaciones:  PDF      Cálculo de Variaciones y Desigualdades de Lyapunov:    PDF       

 Introducción al análisis no lineal con aplicaciones a ecuaciones diferenciales e integrales   PDF     Funciones convexas    PDF

- Algunos temas propuestos para entregar al profesor durante el curso 2015/16

- Unicidad de la derivada de Fréchet.

-  Relación entre la convexidad de una función y el carácter monótono de la derivada primera.

- Relación entre la convexidad de una función y la propiedad de que la derivada segunda sea semidefinida positiva.

- Parte positiva de una función, en relación con las propiedades de regularidad.

- Ecuación de Euler-Lagrange para problemas condicionados.

- Ecuación de Euler-Lagrange con algún extremo libre.

- Algunas propiedades adicionales de la Braquistocrona.

- Contextualización histórica:

Los orígenes del cálculo diferencial e integral, en relación con problemas de optimización están muy bien expuestos en : M. Kline, Mathematical thought from ancient to modern times. Oxford University Press, New York, 1.972. Capítulo 17. Traducción al castellano en Alianza Editorial, Madrid, 1.992. Particularmente conviene ver con detalle las aportaciones de Fermat, Leibniz y Newton, comparando sus  respectivas ideas y métodos. Este libro es el mejor que conozco sobre historia de las matemáticas (desde sus orígenes hasta principios del siglo XX).  

Sobre el nacimiento del cálculo de variaciones y cuestiones relacionadas con la ecuación de Euler-Lagrange, pueden consultarse:

                                -  M. Kline, Mathematical thought from ancient to modern times. Oxford University Press, New York, 1.972. Capítulo 24.

- E. Kreyszig, On the Calculus of Variations and its Major Influences on the Mathematics of the First Half of Our Century, Part I. The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 7, 1994, 674-678

   E. Kreyszig, On the Calculus of Variations and its Major Influences on the Mathematics of the First Half of Our Century, Part I. The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 9, 1994,902-908 

Los dos últimos son artículos cortos, pero se reflejan de manera precisa y clara las ideas fundamentales del cálculo de variaciones, desde sus orígenes (Johann Bernoulli y el problema de la braquistocrona) hasta el llamado cálculo de variaciones global (teoría de Morse), pasando por algunas ideas fundamentales del análisis funcional.

Sobre los orígenes históricos de la programación lineal y no lineal, así como sobre el Teorema de Karush-Kuhn-Tucker,  puede consultarse el artículo:

          T. H. Kjeldsen. A Contextualized Historical analysis of the Kuhn-Tucker Theorem in Nonlinear Programming: The Impact of World War II, historia Mathematica, Vol. 27, 2000, 331-361.

Me gustó mucho este artículo cuando lo leí. Por una parte, se ponen de manifiesto de manera clara las diferentes motivaciones matemáticas (problemas de programación lineal, extremos condicionados en cálculo de variaciones, problemas de geometría convexa, respectivamente) que llevaron a H. W. Kuhn y A. W. Tucker (1950), W. Karush (1939) y F. John (1948) a obtener, "prácticamente el mismo resultado",  sobre las condiciones necesarias que ha de satisfacer la solución de un problema de programación no lineal. Por otra, se aportan diferentes datos sobre el contexto social de la época, incluyendo el papel jugado por la investigación e interés militar en este tipo de problemas.  

Como ya sabemos, la página web THE MACTUTOR HISTORY OF MATHEMATICS ARCHIVE  http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html      es imprescindible hoy en día para cualquier tema relacionado con la historia de las matemáticas.

 

- El Teorema de Karush-Kuhn-Tucker-John:

El Teorema de Karush-Kuhn-Tucker-John se refiere se refiere a las condiciones necesarias que han de satisfacer los mínimos (globales o locales)  de problemas de optimización, donde aparecen restricciones dadas por igualdades y por desigualdades. En ambientes de convexidad, estas condiciones son también suficientes.  Este Teorema es una generalización importante del clásico Teorema de los multiplicadores de Lagrange. 

La versión del Teorema de Karush-Kuhn-Tucker que enunciaremos y demostraremos en clase es la que aparece en el artículo de E.J. McShane: The Lagrange multiplier rule, The American Mathematical Monthly, vol. 80, 1973, 922-925. Este artículo me gustó mucho cuando lo leí, por la profundidad y sencillez en la exposición.  

Otras versiones pueden verse en el libro E. A. L. Peressini, F. E. Sullivan y J.J. Uhl, Jr. The Mathematics of Nonlinear Programming, Springer- Verlag, 1988. Capítulo 5, apartados 5.2 y 5.3.

Esta versión tiene ventajas e inconvenientes (como todo en la vida). En primer lugar, la demostración de la parte suficiente del Teorema es directa, elemental y sencilla. La demostración de la parte necesaria es más dificultosa, llena de conceptos, definiciones, etc. No obstante, se aprenden cosas interesantes; destaquemos dos: la existencia de vectores subgradiente para funciones convexas (no necesariamente derivables) en puntos interiores de su dominio y la versión punto de silla del  Teorema de Karush-Kuhn-Tucker.  Debemos destacar que para la condición suficiente de la versión del punto de silla, no necesitamos convexidad de las funciones implicadas.

El alumno debe practicar con diferentes ejemplos y ejercicios propuestos en el libro anteriormente citado. Se dará cuenta de que, a pesar de la magnitud del Teorema, su aplicación concreta no es fácil (esto no debe extrañarnos si hemos practicado suficientemente con el clásico Teorema de los multiplicadores de Lagrange).

El principal inconveniente que tiene el Teorema del libro de Peressini y otros es que para obtener las condiciones necesarias se imponen hipótesis de convexidad, tanto sobre la función a minimizar como sobre las restricciones dadas por desigualdades. Versiones no convexas de las condiciones necesarias se pueden ver (además de en el artículo de McShane, mencionado con anterioridad), en Olvi L. Mangasarian: Nonlinear Programming, SIAM, 1.994. Capítulo 7, apartado 7.3.7.

La demostración de este último libro usa dos ideas y herramientas fundamentales: la linealización de las funciones dadas y teoremas de la alternativa para sistemas de ecuaciones lineales, que son interesantes por sí mismos (sobre todo por sus múltiples aplicaciones a Economía).

 

 

                                                                                                                   

- Enlaces a páginas relacionadas:

       ERIC WEISSTEIN'S world of Mathematics. Página muy útil para consultar temas muy diversos relacionados con los conceptos del curso.  

                        http://mathworld.wolfram.com/topics/CalculusofVariations.html

      ERIC WEISSTEIN'S world of Physics. Similar a la anterior, pero sobre temas de Física

                     http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/LagrangianMechanics.html

 

 

Libro de texto : Series de Fourier y aplicaciones: un tratado elemental con notas históricas y ejercicios resueltos. Editorial Pirámide, Madrid, 2002. 

Prefacio PDF,  Índice PDF   

Algunas prácticas de ordenador, realizadas con el programa Mathematica, sobre  ejercicios del libro  anterior.

Convergencia de Series de Fourier: Notebook (Mathematica 4.1)

La ecuación del calor: Notebook (Mathematica 4.1)

La ecuación de ondas. Notebook (Mathematica 4.1)

 

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