Una recta conmensurable en longitud con una binomial es también ella misma binomial y del mismo orden.
Sea AB la recta binomial y sea CD conmensurable en longitud con AB . Digo que CD es binomial y del mismo orden que AB.
Pues como AB es binomial, divídase en sus términos por el punto E, y sea AE el término mayor ; entonces AE, EB son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.36]. Hágase de forma que como AB es a CD, así AE a CF [Prop. VI.12]; entonces la recta restante EB es a la recta restante FD, como AB es a CD [Prop. V.19]. Pero AB es conmensurable en longitud con CD; luego AE es conmensurable también con CF y EB con FD [Prop. X.11]. Ahora bien, AE, EB son racionales; luego CF, FD son también racionales. Y como AE es a CF, EB a FD [Prop. V.11]. Entonces, por alternancia, como AE es a EB, CF a FD [Prop. V .16]. Pero AE, EB son conmensurables sólo en cuadrado; entonces CF, FD son conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.11]. Y son racionales; por tanto CD es una binomial [Prop. X.36].
Digo además que es del mismo orden que AB.
Pues el cuadrado de AE es mayor que el de EB o bien en el cuadrado de una recta conmensurable con AE o en el de una inconmensurable con ella. Pues bien, si el cuadrado de AE es mayor que el de EB en el cuadrado de una recta conmensurable con ella AE, también el cuadrado de CF será mayor que el de FD en el cuadrado de una recta conmensurable con ella CF. Y si AE es conmensurable con la recta racional propuesta, también CF será conmensurable con ella [Prop. X.12], por eso, también, cada una de las rectas AB, CD es primera binomial, es decir, son del mismo orden. Pero si EB es conmensurable con la recta racional propuesta, FD es también conmensurable con ella [Prop. X.12], por eso CD será del mismo orden que AB: porque cada una de ellas será una segunda binomial [Def. X-II-2]. Pero si ninguna de las rectas AE, EB es conmensurable con la recta racional propuesta, ninguna de las rectas CF, FD será conmensurable con ella [Prop. X.13] y cada una será tercera binomial [Def. Def. X-II-3]. Pero si el cuadrado de AE es mayor que el de EB en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella AE, también el cuadrado de CF es mayor que el de FD en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella CF [Prop. X.14]. Y si AE es conmensurable con la recta racional propuesta, CF es también conmensurable con ella; y cada una de ellas es cuarta binomial [Def. Def. X-II-4]. Pero si lo es EB, también lo es FD, y cada una de ellas será quinta binomial [Def. Def. X-II-5]. Y si ninguna de las rectas AE, EB es conmensurable con la recta racional propuesta, tampoco lo es ninguna de las rectas CF, FD y cada una de ellas será sexta binomial [Def. Def. X-II-6]. De modo que una recta conmensurable en longitud con una binomial es también ella misma binomial y del mismo orden.
Q. E. D.