El rectángulo comprendido por rectas racionales y conmensurables sólo en cuadrado es irracional y el lado del cuadrado igual a él también es irracional, llámese este último medial.
Sea, pues, comprendido el rectángulo ▭AC por las rectas racionales y conmensurables sólo en cuadrado AB, BC . Digo que ▭AC es irracional, y el lado del cuadrado igual a él también es irracional, y llámese medial.
Pues constrúyase sobre AB el cuadrado □AD ; entonces □AD es racional [Def. X.4]. Y como AB es inconmensurable en longitud con BC, porque se ha supuesto que es conmensurable sólo en cuadrado, mientras que AB = BD, entonces DB es inconmensurable en longitud con BC. Ahora bien, DB / BC = □AD / ▭AC [Prop. VI.1]; luego □DA es inconmensurable con ▭AC [Prop. X.11]. Pero □DA es racional; luego ▭AC es irracional; de modo que el lado del cuadrado igual a ▭AC también es irracional, llámese medial.
Q. E. D.