Hallar una recta sexta binomial.
Pónganse dos números AC, CB , de modo que AB no guarde con ninguno de ellos la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; y haya también otro número D que no sea cuadrado y no guarde con ninguno de los números BA, AC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; póngase una recta racional E , y hágase de forma que, como D es a AB, sea así también el cuadrado de E al cuadrado de FG [Cor. Prop. X.6]; entonces el cuadrado de E es conmensurable con el cuadrado de FG [Prop. X.6]. Ahora bien, E es racional; luego FG es también racional. Y como D no guarda con AB la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces el cuadrado de E tampoco guarda con el cuadrado de FG la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego E es inconmensurable en longitud con FG [Prop. X.9]. Además hágase de forma que, como BA es a AC, así, a su vez, el cuadrado de FG al cuadrado de GH [Cor. Prop. X.6]; entonces el cuadrado de FG es conmensurable con el cuadrado de HG; luego el cuadrado de HG es racional; por tanto, HG es racional. Y puesto que BA no guarda con AC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, ni el cuadrado de FG guarda con el cuadrado de GH la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces FG es inconmensurable en longitud con GH [Prop. X.9]. Luego FG, GH son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado. Por tanto, FH es binomial [Prop. X.36].
Hay que demostrar ahora que también es sexta.
Pues bien, dado que como D es a AB, así el cuadrado de E al cuadrado de FG, pero también, como BA es a AC, así el cuadrado de FG al cuadrado de GH, entonces, por igualdad, como D es a AC, así el cuadrado de E al cuadrado de GH [Prop. V.22]. Pero D no guarda con AC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces el cuadrado de E no guarda con el cuadrado de GH la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego E es inconmensurable en longitud con GH [Prop. X.9]. Pero se ha demostrado que es también inconmensurable con FG; entonces cada una de las rectas FG, GH es inconmensurable en longitud con E. Y dado que, como BA es a AC, así el cuadrado de FG al cuadrado de GH, entonces el cuadrado de FG es mayor que el cuadrado de GH. Sean, pues, los cuadrados de GH, K iguales al cuadrado de FG ; entonces, por conversión, como AB es a BC, así el cuadrado de FG al cuadrado de K [Cor. Prop. V.19]. Pero AB no guarda con BC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; de modo que el cuadrado de FG tampoco guarda con el cuadrado de K la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Luego FG es inconmensurable en longitud con K [Prop. X.9]; entonces el cuadrado de FG es mayor que el de GH en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella FG. Ahora bien, FG, GH son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, y ninguna de ellas es conmensurable en longitud con la recta racional dada E. Por consiguiente, FH es una sexta binomial.
Q. E. D.