Si se quita de un área medial un área racional, resultan otras dos rectas no racionales: o bien la primera apótoma de una medial, o bien la que hace con un área racional un área entera medial.
Quítese, pues, del área medial BC el área racional BD . Digo que el lado del cuadrado equivalente al área restante EC es una de estas dos rectas no racionales, o bien la primera apótoma de una medial, o bien la que hace con un área racional un área entera medial.
Pues bien, póngase la recta racional FG y aplíquense las áreas de manera semejante a los teoremas precedentes . Ahora, en consecuencia, FH es racional e inconmensurable en longitud con FG, mientras que KF es racional y conmensurable en longitud con FG; entonces FH, FK son rectas expresabas conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.13], luego KH es una apótoma y FK la adjunta a ella [Prop. X.73]. Así pues, el cuadrado de HF es mayor que el de FK o bien en el cuadrado de una recta conmensurable con HF o bien en el de una inconmensurable con ella. Pues bien, si el cuadrado de HF es mayor que el de FK en el cuadrado de una recta conmensurable con ella HF, y la adjunta a ella, FK, es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta FG, KH es una segunda apótoma [Def. X-III-2]. Pero FG es racional; de modo que el lado del cuadrado equivalente al área LH, es decir a EC, es la primera apótoma de una medial [Prop. X.92]. Pero si el cuadrado de HF es mayor que el de FK en el cuadrado de una recta inconmensurable, y la recta adjunta FK es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta FG, KH es una quinta apótoma [Def. X-III-5]; de modo que el lado del cuadrado equivalente a EC es la recta que hace con un área racional un área entera medial [Prop. X.95]
Q. E. D.