Si se quita de un área medial otra área medial inconmensurable con el área entera, resultan las dos rectas no racionales restantes: o bien la segunda apótoma de una medial o bien la que hace con un área medial un área entera medial.
Quítese, pues, como en las construcciones anteriores, del área medial BC, el área medial BD inconmensurable con el área entera . Digo que el lado del cuadrado equivalente al área EC es una de estas dos rectas no racionales, o bien la segunda apótoma de una medial, o bien la que hace con un área medial un área entera medial.
Pues como cada una de las áreas BC, BD es medial, y BC es inconmensurable con BD, en consecuencia, cada una de las dos rectas FH, FK será racional e inconmensurable en longitud con FG [Prop. X.22]. Y puesto que BC es inconmensurable con BD, es decir GH con GK, HF es también inconmensurable con FK [Prop. VI.1 y Prop. X.11]; luego FH, FK son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; por tanto, KH es una apótoma [Prop. X.73]. Ahora bien, si el cuadrado de FH es mayor que el de FK en el cuadrado de una recta conmensurable con ella FH y ninguna de las rectas FH, FK es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta FG, KH es una tercera apótoma [Def. X-III-3]. Pero KL es racional, y el rectángulo comprendido por una recta racional y una tercera apótoma no es racional, y el lado del cuadrado equivalente a él tampoco es racional y se llama segunda apótoma de una medial [Prop. X.93]; de modo que el lado del cuadrado equivalente a LH, es decir a EC, es una segunda apótoma de una medial. Pero si el cuadrado de FH es mayor que el de FK en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella FH y ninguna de las rectas HF, FK es conmensurable en longitud con FG, KH es una sexta apótoma [Def. X-III-6]. Pero el lado del cuadrado equivalente al rectángulo comprendido por una recta racional y una sexta apótoma es la recta que hace con un área medial un área entera medial [Prop. X.96]. Por consiguiente, el lado del cuadrado equivalente a LH, es decir a EC, es una recta que hace con un área medial un área entera medial.
Q. E. D.