Si un área está comprendida por una recta racional y una cuarta apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es una recta «menor».
Pues sea comprendida el área ▭AB por la recta racional AC y la cuarta apótoma AD . Digo que el lado del cuadrado equivalente al área ▭AB es una recta «menor».
Pues sea DG la adjunta a AD ; entonces AG, GD son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, y AG es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta AC, y el cuadrado de la recta entera AG es mayor que el de la adjunta DG en el cuadrado de una recta inconmensurable en longitud con ella AG [Def. X-III-4]. Pues bien, como el cuadrado de AG es mayor que el de GD en el cuadrado de una recta inconmensurable en longitud con ella AG, entonces, si se aplica a AG un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de DG deficiente en la figura de un cuadrado, la dividirá en partes inconmensurables [Prop. X.18]. Así pues, divídase DG en dos partes iguales por el punto E y aplíquese a AG un paralelogramo igual al cuadrado de EG deficiente en la figura de un cuadrado, y sea el rectángulo comprendido por AF, FG ; entonces AF es inconmensurable en longitud con FG. Trácense, pues, por los puntos E, F, G las rectas EH, FI, GK paralelas a AC, BD . Como en efecto AG es racional y conmensurable en longitud con AC, entonces el área entera ▭AK es racional [Prop. X.19]. Y puesto que, a su vez, DG es inconmensurable en longitud con AC y ambas son racionales, entonces ▭DK es medial [Prop. X.21]. Y puesto que a su vez AF es inconmensurable en longitud con FG, entonces ▭AI es también inconmensurable con ▭FK [Prop. VI.1 y Prop. X.11]. Pues bien, constrúyase el cuadrado □LM igual a ▭AI y quítese □NO = ▭FK y que está en torno al mismo ángulo LPM. Entonces los cuadrados □LM, □NO están en torno a la misma diagonal [Prop. VI.26]. Sea su diagonal PR y constrúyase la figura . Así pues, como el rectángulo comprendido por AF, FG es igual al cuadrado de EG, entonces, proporcionalmente, como AF es a EG, así ▭AI a ▭EK, y como EG es a FG, así ▭EK a ▭FK [Prop. VI.1]; entonces ▭EK es media proporcional de ▭AI, ▭FK [Prop. V.11]. Pero ▭MN es también media proporcional de los cuadrados □LM, □NO y ▭AI es igual a □LM, y ▭FK a □NO; luego ▭EK es igual a ▭MN. Pero ▭DH; es igual a ▭EK y ▭LO es igual a ▭MN. Por tanto, el área entera ▭DK es igual al gnomon ◱UVW y □NO. Pues bien, como el área entera ▭AK es igual a los cuadrados □LM, □NO donde ▭DK es igual al gnomon ◱UVW y el cuadrado □NO, entonces el área restante ▭AB es igual a □ST, es decir al cuadrado de LN; luego LN es el lado del cuadrado equivalente al área ▭AB.
Digo que LN es la recta irracional llamada «menor».
Pues como ▭AK es racional y es igual a los cuadrados de LP, PN, entonces la suma de los cuadrados de LP, PN es racional. Como ▭DK es a su vez medial y ▭DK es igual al doble del rectángulo comprendido por LP, PN, entonces el doble del rectángulo comprendido por LP, PN es medial. Y puesto que se ha demostrado que ▭AI es inconmensurable con ▭FK, entonces el cuadrado de LP es inconmensurable también con el cuadrado de PN. Luego LP, PN son rectas inconmensurables en cuadrado que hacen la suma de sus cuadrados racional y el doble del rectángulo comprendido por ellas medial. Por tanto, LN es la recta irracional llamada «menor» [Prop. X.76]; y es el lado del cuadrado equivalente al área ▭AB. Por consiguiente, el lado del cuadrado equivalente al área ▭AB es una recta «menor».
Q. E. D.