Las razones que son iguales a una misma razón son también iguales entre sí.
Pues, como \(\rm \dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}\) , y, como \(\rm \dfrac{C}{D}=\dfrac{E}{F}\) .
Digo que \(\rm \dfrac{A}{B}=\dfrac{E}{F}\).
Tómense los equimúltiplos G=mA , H=mC , K=mE de A, C, E y otros equimúltiplos, tomados al azar, L=nB , M=nD , N=nF de B, D, F.
Y puesto que \(\rm \dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}\), y se han tomado los equimúltiplos G, H de A, C, y otros equimúltiplos, tomados al azar, L, M de B, D, entonces, según G ≷ L, será H ≷ M.
Asimismo, puesto que \(\rm \dfrac{C}{D}=\dfrac{E}{F}\), y se han tomado los equimúltiplos H, K de C, E y otros equimúltiplos, tomados al azar, M, N de D, F, entonces, según H ≷ M, será K ≷ N. Pero según H ≷ M, será G ≷ L; de modo que, según G ≷ L, será K ≷ N. Ahora bien, G, K son equimúltiplos de A, E, y L, N otros equimúltiplos, tomados al azar, de B, F; por tanto, \(\rm \dfrac{A}{B}=\dfrac{E}{F}\).
Q. E. D.