Las partes guardan la misma razón entre sí que sus mismos múltiplos, tomados en el orden correspondiente.
Sea pues AB=nC el mismo múltiplo de C que DE=nF de F .
Digo que como \(\rm \dfrac{C}{F}=\dfrac{AB}{DE}\).
Pues dado que AB es el mismo múltiplo de C que DE de F, entonces, cuantas magnitudes iguales a C hay en AB, otras tantas habrá iguales a F en DE. Divídase AB en las magnitudes AG, GH, HB iguales a C , y DE en las magnitudes DK, KL, LE iguales a F ; entonces el número de las magnitudes AG, GH, HB será igual al número de las magnitudes DK, KL, LE. Y puesto que AG=GH=HB y DK=KL=LE, entonces, \(\rm\dfrac{AG}{DK}=\dfrac{GH}{KL}=\dfrac{HB}{LE}\) [Prop. V.7]. Por tanto, \(\rm\dfrac{AG}{DK}=\dfrac{AG+GH+HB}{DK+KL+LE}=\dfrac{AB}{DE}\) [Prop. V.12]. Ahora bien, AG = C, y DK = F; luego, \(\rm\dfrac{C}{F}=\dfrac{AB}{DE}\).
Q. E. D.