Si dos magnitudes son equimúltiplos de dos magnitudes y ciertas magnitudes quitadas de ellas son equimúltiplos de estas dos segundas, las restantes también son o iguales a las mismas o equimúltiplos de ellas.
Pues sean dos magnitudes AB=nE , CD=nF equimúltiplos de dos magnitudes E , F , y sean las magnitudes quitadas AG=mE , CH=mF equimúltiplos de las mismas E, F.
Digo que las magnitudes restantes GB=AB-AG=nE-mE=(n-m)E, HD=CD-CH=nF-mF=(n-m)F o son iguales a E, F o equimúltiplos de ellas.
Sea, en primer lugar, GB = E. Digo que HD = F.
Tómese CK = F . Dado que AG=mE, y CH=mF, mientras que GB = E y CK = F, entonces AB=AG+GB=mE+E=(m+1)E y KH=CH+CK=mF+F=(m+1)F [Prop. V.2]. Así AB es el mismo múltiplo de E que KH es de F.
Pero, se ha supuesto que, AB=nE y CD=nF; por tanto KH=nF, luego KH = CD y KC = KH-CH = CD-CH = HD. Pero KC = F, luego HD = F.
Supongamos, ahora, que GB=(n-m)E. Digo que HD=(n-m)F.
Tómese CK = (n-m)F. Dado que AG=mE, y CH=mF, mientras que GB = (n-m)E y CK = (n-m)F, entonces AB=AG+GB=mE+(n-m)E=nE y KH=CH+CK=mF+(n-m)F=nF [Prop. V.2]. Así AB es el mismo múltiplo de E que KH es de F.
Pero, se ha supuesto que, AB=nE y CD=nF; por tanto KH = CD y KC = KH-CH = CD-CH = HD. Así HD=(n-m)F.
Q. E. D.