Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta, y una quinta guarda con la segunda la misma razón que la sexta con la cuarta, la primera y la quinta, tomadas juntas, guardarán también la misma razón con la segunda que la tercera y la sexta con la cuarta.
Sea pues \(\rm\dfrac{AB}{C}=\dfrac{DE}{F}\) , y \(\rm\dfrac{BG}{C}=\dfrac{EH}{F}\) .
Digo que, \(\rm\dfrac{AG}{C}=\dfrac{AB+BG}{C}=\dfrac{DE+EH}{F}=\dfrac{DH}{F}\).
Dado que \(\rm\dfrac{BG}{C}=\dfrac{EH}{F}\), entonces, por inversión, \(\rm\dfrac{C}{BG}=\dfrac{F}{EH}\). Puesto que \(\rm\dfrac{AB}{C}=\dfrac{DE}{F}\), y, \(\rm\dfrac{C}{BG}=\dfrac{F}{EH}\), entonces, por igualdad, \(\rm\dfrac{AB}{BG}=\dfrac{DE}{EH}\) [Prop. V.22]. Ahora bien, puesto que las magnitudes son proporcionales por separación, también serán proporcionales por composición [Prop. V.18]; luego, \(\rm\dfrac{AG}{GB}=\dfrac{DH}{HE}\). Pero, \(\rm\dfrac{BG}{C}=\dfrac{EH}{F}\); luego, por igualdad, \(\rm\dfrac{AG}{C}=\dfrac{DH}{F}\) [Prop. V.22].
Q. E. D.