Si cuatro magnitudes son proporcionales, también por alternancia serán proporcionales.
Sean A , B , C , D , cuatro magnitudes proporcionales, a saber \(\rm\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}\).
Digo que lo serán también por alternancia, a saber como \(\rm\dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{D}\).
Tómense los equimúltiplos E=mA , F=mB de A, B y otros equimúltiplos, tomados al azar, G=nC, H=nD de C, D. Y puesto que E es el mismo múltiplo de A que F de B, las partes guardan la misma razón que sus mismos múltiplos [Prop. V.15]; entonces, \(\rm\dfrac{A}{B}=\dfrac{E}{F}\). Pero \(\rm\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}\); luego, \(\rm\dfrac{C}{D}=\dfrac{E}{F}\) [Prop. V.11]. A su vez, puesto que G, H son equimúltiplos de C, D, entonces, \(\rm\dfrac{C}{D}=\dfrac{G}{H}\) [Prop. V.15]. Pero \(\rm\dfrac{C}{D}=\dfrac{E}{F}\); luego \(\rm\dfrac{E}{F}=\dfrac{G}{H}\) [Prop. V.11]. Por tanto, según sea E ≷ G, será F ≷ H [Prop. V.15]. Ahora bien, E, F son equimúltiplos de A, B, y G, H, otros equimúltiplos, tomados al azar, de C, D; luego, \(\rm\dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{D}\) [Def. V.5].
Q. E. D.