Las magnitudes iguales guardan la misma razón con una misma magnitud y la misma magnitud guarda la misma razón con las magnitudes iguales.

Sean magnitudes A=B Paso 1 y C otra, tomada al azar Paso 2. Digo que \(\rm\dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{C}\) y \(\rm\dfrac{C}{A}=\dfrac{C}{B}\).

Pues tómense los equimúltiplos D=mA Paso 3, E=mB Paso 4 de A, B y otro múltiplo al azar, F=nC Paso 5 de C. Ya que A=B, entonces D = mA = mB = E. Pero F = nC es otra magnitud tomada al azar. Entonces, según D ≷ F, será E ≷ F. Ahora bien, D, E son equimúltiplos de A, B, y F otro múltiplo, al azar, de C; entonces, \(\rm\dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{C}\) [Def. V.5].

Digo ahora que \(\rm\dfrac{C}{A}=\dfrac{C}{B}\).

Pues, siguiendo la misma construcción, demostraríamos de manera semejante que D = E; pero F es alguna otra magnitud, entonces, según F ≷ D, será F ≷ E. Por tanto, \(\rm\dfrac{C}{A}=\dfrac{C}{B}\) [Def. V.5].

Q. E. D.

A partir de esto queda claro que, si algunas magnitudes son proporcionales, también son proporcionales por inversión [Def. V.13].