Si cuatro magnitudes son proporcionales, la mayor y la menor juntas son mayores que las dos restantes.

Sean AB Paso 1, CD Paso 2, E Paso 3, F Paso 4 cuatro magnitudes proporcionales, es decir \(\rm\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{E}{F}\); y sea la mayor de ellas AB y la menor F. Digo que AB+F > CD+E.

Pues hágase AG = E Paso 5 y CH = F Paso 6. Dado que, \(\rm\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{E}{F}\), y E = AG, mientras que F = CH, entonces \(\rm\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{AG}{CH}\). Ahora bien, ya que \(\rm\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{AG}{CH}\), entonces \(\rm\dfrac{GB}{HD}=\dfrac{AB-AG}{CD-CH}=\dfrac{AB}{CD}\) [Prop. V.19]. Pero AB > CD; luego GB > HD. Y dado que AG = E y CH = F, entonces AG+F = CH+E. Y si, GB > HD, se sigue que AB+F = GB+AG+F > HD+CH+E=CD+E.

Q. E. D.