Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y si, por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también la cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual, y si es menor, menor.
Sean A , B , C tres magnitudes y D , E , F otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón, es decir que \(\rm\dfrac{A}{B}=\dfrac{D}{E}\) y \(\rm\dfrac{B}{C}=\dfrac{E}{F}\).
Digo que según A ≷ C será D ≷ F.
Pues dado que A > C y B es otra magnitud cualquiera, entonces \(\rm\dfrac{A}{B}>\dfrac{C}{B}\) [Prop. V.8]. Pero como \(\rm\dfrac{A}{B}=\dfrac{D}{E}\), y por inversión, \(\rm\dfrac{C}{B}=\dfrac{F}{E}\); luego \(\rm\dfrac{D}{E}>\dfrac{F}{E}\) [Prop. V.13]. Así pues D > F [Prop. V.10].
En segundo lugar, si A = C , también será D = F.
Ya que A = C, y B cualquier otra magnitud, entonces \(\rm\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{B}\) [Prop. V.7].
Pero \(\rm\dfrac{A}{B}=\dfrac{D}{E}\) y \(\rm\dfrac{C}{B}=\dfrac{F}{E}\), luego
\(\rm\dfrac{D}{E}=\dfrac{F}{E}\) [Prop. V.11] y así D = F [Prop. V.9].
Finalmente, si A < C, también D < F.
Ya que C > A, y ya que, por hipótesis e inversión, \(\rm\dfrac{C}{B}=\dfrac{F}{E}\) y \(\rm\dfrac{B}{A}=\dfrac{E}{D}\),
entonces, por el primer caso, F > D; y así D < F.
Q. E. D.