De magnitudes desiguales, la mayor guarda con una misma magnitud una razón mayor que la menor, y la misma magnitud guarda con la menor una razón mayor que con la mayor.
Sean AB, BC magnitudes desiguales, AB > BC , y sea D cualquier otra magnitud . Digo que \(\rm \dfrac{AB}{D} > \dfrac{BC}{D}\) y \(\rm \dfrac{D}{BC} > \dfrac{D}{AB}\).
Si la magnitud menor de las dos, AC y CB no es menor que D, tómense EF=2AC, FG=2CB , como en la figura primera.
Pero si la menor de las dos, AC y CB es también menor que
D, como en las dos figuras siguientes, sea AC, ó CB, multiplicada llegará a ser
mayor que D; multipliquese hasta que resulte mayor que D; y sean EF=mAC, y FG=mCB; por tanto se tendrá EF > D y FG > D.
En todos los casos, tómese H=2D; K=3D, y así sucesivamente, hasta que el múltiplo de D, sea el primero que es mayor que FG .
Sea L=nD el primer múltiplo de D que es mayor que FG=mEB, y K=(n-1)D el múltiplo de D, inmediatamente menor que L=nD .
Siendo, pues, L el primer múltiplo de D, mayor que FG; K ≯ FG,
por consiguiente FG ≮ K, y siendo EF=mAC y FG=mCB, también será EG = EF+FG = mAC+mCB = m(AC+CB) = mAB [Prop. V.1];
por consiguiente EG, FG son equimúltiplos de AB, y CB;
pero ya se demostró FG ≮ K; y por construcción EF > D;
luego el total EG = EF+FG > K+D = (n-1)D+D = nD = L; pero
FG ≯ L y como EG, FG son equimúltiplos de AB, BC;
y L otro múltiplo de D, entonces \(\rm \dfrac{AB}{D} > \dfrac{BC}{D}\) [Def. V.7].
Además, \(\rm \dfrac{D}{BC} > \dfrac{D}{AB}\); pues supuesta
la misma construccion, se demostrará semejantemente, que L > FG, y que L ≯ EG, y como L es múltiplo
de D; y FG, EG equimúltiplos de CB, AB, entonces \(\rm \dfrac{D}{BC} > \dfrac{D}{AB}\) [Def. V.7].
Q. E. D.