Si una primera magnitud es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera de una cuarta, y una quinta es también el mismo múltiplo de la segunda que una sexta de la cuarta, la suma de la primera y la quinta será el mismo múltiplo de la segunda que la suma de la tercera y la sexta de la cuarta.

Sea AB=mC, la primera, el mismo múltiplo de C, la segunda Paso 1, que DE=mF, la tercera, es de F, la cuarta Paso 2; y sea BG=nC, la quinta, el mismo múltiplo de C, la segunda Paso 3, que EH=nF, la sexta, es de F, la cuarta Paso 4. Digo que AB+BG=(m+n)C es el mismo múltiplo de C, que DE+EH=(m+n)F es de F.

Ya que AB es el mismo múltiplo de C, que DE lo es de F, entonces cuantas magnitudes haya en AB iguales a C, tantas habrá en DE iguales a F. Por la misma razón, cuantas magnitudes haya en BG iguales a C, tantas habrá en EH iguales a F; por consiguiente cuantas magnitudes haya en AG=AB+BG iguales a C, tantas magnitudes habrá en DH=DE+EH iguales a F. Así, cualquiera que sea el múltiplo AG de C, el mismo múltiplo será DH de F y así AG=AB+BG será el mismo múltiplo de C, que DH=DE+EH lo es de F; luego AG=(m+n)C y DH=(m+n)F.

Q. E. D.