Si una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta, cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera guardarán la misma razón con cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta respectivamente, tomados en el orden correspondiente.
Sea pues \(\rm \dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}\) , y tómense los equimúltiplos E=mA , F=mC de A,C, y otros equimúltiplos G=nB , H=nD de B,D.
Digo que \(\rm \dfrac{E}{G}=\dfrac{F}{H}\).
Pues tómense los equimúltiplos K=pE , L=pF de E,F, y otros equimúltiplos, M=qG , N=qH de G, H, todos ellos tomados al azar.
Dado que E=mA y F=mC, y K=pE, L=pF, entonces K=pmA, L=pmC [Prop. V.3]. Por lo mismo M=qnB, N=qnD.
Puesto que \(\rm \dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}\), según sea K ≷ M, será L≷ N [Def. V.5].
Ahora bien, K=pE, L=pF son equimúltiplos de E, F, y M=qG, N=qH otros equimúltiplos de G, H, todos ellos tomados al azar; por tanto \(\rm \dfrac{E}{G}=\dfrac{F}{H}\) [Def. V.5].
Q. E. D.