Una recta conmensurable con una recta «mayor» es también «mayor».
Sea AB la recta «mayor» , y sea CD conmensurable con AB . Digo que CD es «mayor».
Divídase AB por el punto E ; entonces AE, EB son rectas inconmensurables en cuadrado que hacen la suma de sus cuadrados racional, pero el rectángulo comprendido por ellas medial [Prop. X.39]; hágase de la misma forma que en los teoremas anteriores . Dado que, como AB es a CD, así AE a CF y EB a FD, entonces, como AE es a CF, así también EB a FD [Prop. V.11]. Pero AB es conmensurable con CD; luego AE, EB son conmensurables respectivamente con CF, FD [Prop. V.11]. Ahora bien, dado que, como AE es a CF, así EB a FD, y por alternancia, como AE es a EB, así CF a FD [Prop. V.16], entonces, por composición, como AB es a BE, así CD a DF [Prop. V.18]; luego como el cuadrado de AB es al cuadrado de BE, así el cuadrado de CD al cuadrado de DF [Prop. VI.20]. De manera semejante demostraríamos que como el cuadrado de AB es al cuadrado de AE, así el cuadrado de CD al cuadrado de CF. Entonces, como el cuadrado de AB es a los cuadrados de AE, EB, así el cuadrado de CD a los cuadrados de CF, FD. Luego, por alternancia, como el cuadrado de AB es al cuadrado de CD, así los cuadrados de AE, EB a los cuadrados de CF, FD [Prop. V.16]. Pero el cuadrado de AB es conmensurable con el cuadrado de CD; entonces los cuadrados de AE, EB son también conmensurables con los cuadrados de CF, FD. Y los cuadrados de AE, EB juntos son racionales, entonces los cuadrados de CF, FD juntos son también racionales. Pero, de manera semejante, el doble del rectángulo comprendido por AE, EB es también conmensurable con el doble del rectángulo comprendido por CF, FD. Y el doble del rectángulo comprendido por AE, EB es medial; entonces, el doble del rectángulo comprendido por CF, FD es medial [Cor. Prop. X.23]. Luego CF, FD son rectas inconmensurables en cuadrado que hacen la suma de sus cuadrados racional, pero el doble del rectángulo comprendido por ellas medial. Por tanto, la recta entera CD es la recta no racional llamada «mayor» [Prop. X.39]. Por consiguiente, una recta conmensurable con una «mayor» es «mayor».
Q. E. D.