A una recta que hace con un área racional un área entera medial se le adjunta únicamente una recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que haga, con la recta entera, la suma de sus cuadrados medial y el doble del rectángulo comprendido por ellas racional.
Sea AB la recta que hace con un área racional un área entera medial y adáptese BC a AB ; entonces AC, CB son rectas inconmensurables en cuadrado que cumplen lo propuesto [Prop. X.77]. Digo que no se adaptará a AB otra recta que cumpla las mismas condiciones.
Pues, si es posible, adjúntese BD ; entonces AD, DB son rectas inconmensurables en cuadrado que cumplen lo propuesto [Prop. X.77]. Pues bien, en consonancia con lo anterior, como aquello en lo que exceden los cuadrados de AD, DB a los cuadrados de AC, CB, en eso excede también el doble del rectángulo comprendido por AD, DB del doble del rectángulo comprendido por AC, CB, y el doble del rectángulo comprendido por AD, DB excede al doble del rectángulo comprendido por AC, CB en un área racional, porque ambos son racionales, entonces los cuadrados de AD, DB también exceden a los cuadrados de AC, CB en un área racional; lo cual es imposible; porque ambos son mediales [Prop. X.26]. Por tanto, no se adjuntará a AB otra recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que cumpla con la recta entera las condiciones propuestas. Por consiguiente, se adjuntará únicamente una recta.
Q. E. D.