El cuadrado de una primera apótoma de una medial, aplicado a una recta racional produce como anchura una segunda apótoma.
Sea, pues, AB la primera apótoma de una medial y CD la recta racional , y aplíquese CD·CF = AB2 . Digo que CF es una segunda apótoma.
Pues sea BG la adjunta a AB ; entonces AG, GB son rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprenden un rectángulo racional [Prop. X.74]. Y aplíquese CD·CK =AG2 , y CD·KM=BG2 ; entonces CD·CM=AG2+GB2; así pues CD·CM es también medial [Prop. X.15 y Cor. Prop. X.23]. Y se ha aplicado a la recta racional CD produciendo la anchura CM; entonces CM es racional e inconmensurable en longitud con CD [Prop. X.20], Y como CD·CM=AG2+GB2 donde CD·CF = AB2, entonces el área restante, 2AG·GB=CD·FM [Prop. II.7], Pero 2AG·GB; luego CD·FM es racional. Y se ha aplicado a la recta racional FE produciendo la anchura FM; por tanto, FM es también racional y conmensurable en longitud con CD [Prop. X.20]. Pues bien, como AG2+GB2, es decir CD·CM, es medial, mientras 2AG·GB, es decir, CD·FM es racional, entonces CD·CM es inconmensurable con CD·FM. Pero CD·CM/ CD·FM=CM/FM [Prop. VI.1]; entonces CM es inconmensurable en longitud con FM [Prop. X.11]: y ambas son racionales; luego CM, MF son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, por tanto, CF es una apótoma [Prop. X.73].
Digo ahora que también es segunda.
Pues divídase FM en dos partes iguales por el punto N , y trácese, por el punto N, la recta NO paralela a CD ; entonces CD·FN = CD·NM =AG·GB; y puesto que AG·GB es media proporcional de AG2, GB2, y AG2 = CD·CK, mientras que AG·GB = CD·NM y BG2 = CD·KM, entonces CD·NM es media proporcional de CD·CK, CD·KM. Luego, como CD·CK/CD·NM = CD·NM/CD·KM. Pero como CD·CK/CD·NM = CK/NM, y como CD·NM/CD·KM = NM/MK [Prop. VI.1]; entonces, CK/NM = NM/KM [Prop. V.11]; luego CK·KM = NM2 [Prop. VI.17], es decir a (1/4)FM2. Pues bien, como CM, MF son dos rectas desiguales, y se ha aplicado a la mayor, CM, el rectángulo comprendido por CK, KM igual a la cuarta parte del cuadrado de MF, deficiente en la figura de un cuadrado y la divide en partes conmensurables, entonces el cuadrado de CM es mayor que el de MF en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con ella CM [Prop. X.17]. Y la adjunta FM es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta CD; luego CF es una segunda apótoma [Def. X-III-2] Por consiguiente, el cuadrado de la primera apótoma de una medial, aplicado a una recta racional produce como anchura una segunda apótoma.
Q. E. D.