Hallar dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial, pero el rectángulo comprendido por ellas racional.
Pónganse dos rectas mediales, AB, BC , conmensurables sólo en cuadrado, que comprendan un rectángulo racional, de modo que el cuadrado de AB sea mayor que el de BC en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella AB [Prop. X.31] y descríbase sobre AB el semicírculo ADB , y divídase AC en dos partes iguales por el punto E , y aplíquese a la recta AB un paralelogramo igual al cuadrado de BE deficiente en la figura de un cuadrado, es decir, el rectángulo comprendido por AF, FB [Prop. VI.28]. Entonces AF es inconmensurable en longitud con FB [Prop. X.18]. Trácese FD, desde F, formando ángulos rectos con AB , y trácense AD, DB .
Como AF es inconmensurable con FB, entonces el rectángulo comprendido por BA, AF es inconmensurable también con el rectángulo comprendido por AB, BF [Prop. X.11]. Pero el rectángulo comprendido por BA, AF es igual al cuadrado de AD, y el rectángulo comprendido por AB, BF es igual al cuadrado de DB; entonces el cuadrado de AD es también inconmensurable con el cuadrado de DB. Y como el cuadrado de AB es medial, entonces la suma de los cuadrados de AD, DB es también medial [Prop. III.31; Prop. I.47]. Y como BC es el doble de DF, entonces el rectángulo comprendido por AB, BC es también el doble del rectángulo comprendido por AB, FD. Pero el rectángulo comprendido por AB, BC es racional; luego el rectángulo comprendido por AB, FD es también racional [Prop. X.6]. Pero el rectángulo comprendido por AB, FD es igual al rectángulo comprendido por AD, DB [Lema Prop. X.34]; de modo que el rectángulo comprendido por AD, DB es también racional.
Q. E. D.