Hallar una recta tercera binomial.
Pónganse dos números AC, CB de modo que su suma AB guarde con BC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, pero no guarde con AC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Póngase otro número cualquiera D , que no sea cuadrado y que no guarde con ninguno de los números BA, AC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; póngase una recta racional E y hágase de forma que, como D es a AB, sea así el cuadrado de E al cuadrado de la recta FG [Cor. Prop. X.6]. Entonces, el cuadrado de E es conmensurable con el cuadrado de FG [Prop. X.6]. Ahora bien, E es una recta racional; luego FG es también racional. Y dado que D no guarda con AB la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, ni el cuadrado de E guarda con el cuadrado de FG la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces E es inconmensurable en longitud con FG [Prop. X.9]. Hágase de forma que, como el número BA es al número AC, sea así, a su vez, el cuadrado de FG al cuadrado de GH [Cor. Prop. X.6]; entonces el cuadrado de FG es conmensurable con el cuadrado de GH [Prop. X.6]. Pero FG es una recta racional; entonces GH es también racional. Y dado que BA no guarda con AC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, el cuadrado de FG tampoco guarda con el cuadrado de HG la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Entonces FG es inconmensurable en longitud con HG [Prop. X.9]. Luego FG, GH son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; por tanto, FH es binomial [Prop. X.36].
Digo que también es tercera.
Así pues, dado que como D es a AB, así el cuadrado de E es al cuadrado de FG, mientras que, como BA es a AC, así el cuadrado de FG al cuadrado de GH, entonces, por igualdad, como D es a AC, así el cuadrado de E al cuadrado de GH [Prop. V.22]. Pero D no guarda con AC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces el cuadrado de E tampoco guarda con el cuadrado de GH la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego E es inconmensurable en longitud con GH [Prop. X.9]. Ahora bien, dado que, como BA es a AC, así el cuadrado de FG al cuadrado de GH, entonces el cuadrado de FG es mayor que el cuadrado de GH. Pues bien, sean los cuadrados de GH, K iguales al cuadrado de FG ; entonces, por conversión, como AB es a BC, así el cuadrado de FG al cuadrado de K [Cor. Prop. V.19]. Pero AB guarda con BC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces el cuadrado de FG guarda con el cuadrado de K la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego FG es conmensurable en longitud con K [Prop. X.9]. Por tanto, el cuadrado de FG es mayor que el cuadrado de GH en el cuadrado de una recta conmensurable con ella FG. Y FG, GH son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, y ninguna de ellas es conmensurable en longitud con E. Por consiguiente, FH es una tercera binomial.
Q. E. D.