Si se suman un área racional y una medial resultan cuatro tipos de rectas no racionales: o una binomial o una primera bimedial o una «mayor» o el lado del cuadrado equivalente a un área medial más una racional.
Sea AB el área racional y CD la medial . Digo que el lado del cuadrado equivalente al área AD es o binomial o primera bimedial o «mayor» o el lado del cuadrado equivalente a un área racional más una medial.
Pues AB o es mayor que CD o es menor. Sea en primer lugar mayor; y póngase la recta racional EF , y aplíquese a EF el rectángulo EG igual a AB que produzca la anchura EH ; y aplíquese a EF el rectángulo HI igual a DC que produzca la anchura HK . Y puesto que AB es racional y es igual a EG, entonces EG es también racional y se ha aplicado a EF produciendo la anchura EH; luego EH es racional y conmensurable en longitud con EF [Prop. X.20]. Puesto que CD es, a su vez, medial y es igual a HI, entonces HI es también medial. Y se ha aplicado a la recta racional EF produciendo la anchura HK; luego HK es racional e inconmensurable en longitud con EF [Prop. X.22]. Y como CD es medial, mientras que AB es racional, entonces AB es inconmensurable con CD; de modo que EG es inconmensurable con HI. Pero como EG es a HI, así EH a HK [Prop. VI.1]; luego EH es inconmensurable en longitud con HK [Prop. X.11]. Y ambas son racionales; entonces EH, HK son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; luego EK es una recta binomial dividida por el punto H [Prop. X.36]. Y puesto que AB es mayor que CD, mientras que AB es igual a EG, y CD es igual a HI, entonces EG es también mayor que HI; luego EH es también mayor que HK. Pues bien, el cuadrado de EH es mayor que el de HK o bien en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con EH o bien en el de una recta inconmensurable con ella. En primer lugar, sea mayor en el cuadrado de una recta conmensurable con ella HE; ahora bien, la mayor, HE, es conmensurable con la recta propuesta EF; entonces EK es una recta primera binomial [Def. X-II-1]. Y EF es racional; pero si un área es comprendida por una recta racional y una primera binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es una binomial [Prop. X.54]. Así pues, el lado del cuadrado equivalente a EI es binomial; de modo que el lado del cuadrado equivalente a AD es también binomial.
Pero ahora sea el cuadrado de EH mayor que el de HK en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella EH. Ahora bien, la mayor EH es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta EF; entonces EK es una cuarta binomial [Def. X-II-4]. Pero EF es racional; y si un área está comprendida por una recta racional y una cuarta binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no racional llamada «mayor» [Prop. X.57]. Así pues el lado del cuadrado equivalente al área EI es una recta «mayor»; de modo que también el lado del cuadrado equivalente a AD es «mayor».
Pero sea ahora AB menor que CD; entonces EG es menor que HI; de modo que EH es también menor que HK. Pero el cuadrado de HK es mayor que el de EH o bien en el cuadrado de una recta conmensurable con HK o bien en el de una inconmensurable con ella. En primer lugar sea mayor en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con ella; ahora bien, la menor, EH, es conmensurable en longitud con la recta propuesta EF; entonces EK es una segunda binomial [Def. X-II-2]. Pero EF es racional; y si un área está comprendida por una recta racional y una segunda binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es una primera bimedial [Prop. X.55]; así pues, el lado del cuadrado equivalente al área EI es una primera bimedial, de modo que el lado del cuadrado equivalente al área AD es también una primera bimedial. Pero ahora sea el cuadrado de HK mayor que el de HE en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella HK. Ahora bien, la recta menor EH es conmensurable con la recta racional propuesta EF; entonces EK es una quinta binomial [Def. X-II-5]. Pero EF es racional; y si un área está comprendida por una recta racional y una quinta binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es el lado del cuadrado equivalente a un área racional más una medial [Prop. X.58]. Por tanto, el lado del cuadrado equivalente al área EI es el lado del cuadrado equivalente a un área racional más una medial; de modo que el lado del cuadrado equivalente a AD es el lado del cuadrado equivalente a un área racional más una medial. Por consiguiente, si se suman un área racional y una medial, se producen cuatro tipos de rectas no racionales: o una binomial o una primera bimedial o una «mayor» o el lado del cuadrado equivalente a un área racional más una medial.
Q. E. D.