El cuadrado de una recta racional, aplicado a una binomial produce como anchura una apótoma cuyos términos son conmensurables con los términos de la binomial y además guardan la misma razón y la apótoma resultante es del mismo orden que la binomial.
Sea A la recta racional y BC la binomial cuyo término mayor es DC , y sea BC·EF = A2 . Digo que EF es una apótoma cuyos términos son conmensurables con CD, DB y guardan la misma razón y además EF es del mismo orden que BC.
Pues sea a su vez BD·G = A2 . Pues bien, puesto que BC·EF = BD·G, entonces, CB / BD = G / EF [Prop. VI.16]. Pero CB > BD; entonces G > EF [Prop. VI.16, Prop. V.14]. Sea EH = G ; entonces, CB / BD = HE / EF; luego, por separación, CD / BD = HF / FE [Prop. V.17]. Y hágase de forma que HF / FE = FK / KE ; entonces HK / KF = FK / KE, porque como uno de los antecedentes es a uno de los consecuentes, así todos los antecedentes a todos los consecuentes [Prop. V.12]. Pero FK / KE = CD / DB [Prop. V.11]; entonces, HK / KF = CD / DB [Prop. V.11]. Pero CD2 es conmensurable con DB2 [Prop. X.36]; luego HK2 es también conmensurable con KF2 [Prop. VI.22; Prop. X.11]. Ahora bien, como HK2/KF2 = HK/KE, puesto que las tres rectas HK, KF, KE son proporcionales [Def. V-9]. Por tanto, HK es conmensurable en longitud con KE; de modo que HE es también conmensurable en longitud con EK [Prop. X.15]. Y puesto que A2 = EH·BD, y A2 es racional, entonces EH·BD es también racional. Y se ha aplicado a la recta racional BD; entonces EH es una recta racional conmensurable en longitud con BD [Prop. X.20], de modo que EK, al ser conmensurable con ella, es también racional y conmensurable en longitud con BD. Pues bien, dado que, como CD es a DB, así FK a KE, mientras que CD, DB son conmensurables sólo en cuadrado, FK, KE son también conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.11]. Pero KE es racional, luego FK es también racional. Por tanto, FK, KE son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado. Así pues, EF es una apótoma [Prop. X.73]. Ahora bien, el cuadrado de CD es mayor que el de DB en el cuadrado de una recta conmensurable con CD o en el de una inconmensurable con ella. Pues bien, si el cuadrado de CD es mayor que el de DB en el cuadrado de una recta conmensurable, también el cuadrado de FK es mayor que el de KE en el cuadrado de una recta conmensurable con ella FK [Prop. X.14]. Y si CD es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta, también FK lo es [Prop. X.11 y Prop. X.12], pero si lo es BD, también KE [Prop. X.12]; y si no lo es ninguna de las dos rectas CD, DB, tampoco lo será ninguna de las dos rectas FK, KE. Ahora bien, si el cuadrado de CD es mayor que el de DB en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella CD, también el cuadrado de FK será mayor que el de KE en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella FK [Prop. X.14]. Y si CD es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta, también FK lo es; pero si lo es BD, también KE, y si ninguna de las dos rectas CD, DB lo es, tampoco lo será ninguna de las rectas FK, KE; de modo que FE es una apótoma cuyos términos FK, KE son conmensurables con los términos CD, DB de la binomial y guardan la misma razón; y FE es del mismo orden que BC.
Q. E. D.