Si al restar continua y sucesivamente la menor de la mayor de dos magnitudes desiguales, la restante nunca mide a la anterior, las magnitudes serán inconmensurables.
Habiendo, pues, dos magnitudes desiguales AB, CD y siendo AB la menor , al restar sucesivamente la menor de la mayor, no mida nunca la magnitud restante a la anterior a ella. Digo que las magnitudes AB, CD son inconmensurables.
Pues, si son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas una magnitud, si es posible, y sea E ; y AB, al medir a FD, deje la magnitud CF menor que ella , y CF, al medir a BG, deje AG menor que ella , y repítase así sucesivamente hasta que quede una magnitud que sea menor que E. Sea así y quede AG menor que E. Así pues, como E mide a AB y AB mide a DF, entonces E también medirá a FD. Pero mide también a la magnitud entera CD; luego medirá también a la magnitud restante CF. Ahora bien, CF mide a BG; entonces E también mide a BG. Pero mide también a la magnitud entera AB; así que medirá también a la magnitud restante AG, la mayor a la menor; lo cual es imposible. Luego ninguna magnitud medirá a las magnitudes AB, CD; por tanto, las magnitudes AB, CD son inconmensurables [Def. X.1].
Q. E. D.