Hallar la cuarta apótoma.
Póngase la recta racional A y la recta BG conmensurable en longitud con A ; entonces BG es racional. Y pónganse los dos números DF, FE , de modo que el total DE no guarde con cada uno de los números DF, EF la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Y hágase de modo que, como DE es a EF, así el cuadrado de BG al cuadrado de GC [Cor. Prop. X.6]; entonces el cuadrado de BG es conmensurable con el de GC [Prop. X.6]; pero el cuadrado de BG es racional, luego el cuadrado de GC es también racional; por tanto, GC es racional. Ahora bien, como DE no guarda con EF la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces el cuadrado de BG no guarda con el de GC la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego BG es inconmensurable en longitud con GC [Prop. X.9]. Y ambas son racionales; entonces BG, GC son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado. Por tanto BC es apótoma [Prop. X.73].
Sea ahora el cuadrado de H aquello en lo que el cuadrado de BG es mayor que el de GC . Pues bien, dado que, como DE es a EF, así el cuadrado de BG al de GC, entonces, por conversión, como ED es a DF, así el cuadrado de GB al de H [Cor. Prop. V.19]. Pero ED no guarda con DF la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego el cuadrado de GB tampoco guarda con el cuadrado de H la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; por tanto BG es inconmensurable en longitud con H [Prop. X.9]. Ahora bien, el cuadrado de BG es mayor que el de GC en el cuadrado de H, entonces el cuadrado de BG es mayor que el de GC en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella BG. Y la recta entera BG es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta, A. Por tanto, BC es una cuarta apótoma. Por consiguiente se ha hallado la cuarta apótoma.
Q. E. D.