Una recta conmensurable con el lado del cuadrado equivalente a la suma dos áreas mediales es también ella misma el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.
Sea AB el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales y sea CD conmensurable con AB . Hay que demostrar que CD es también el lado del cuadrado equivalente a la suma dos áreas mediales.
Pues como AB es el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales, divídase en sus rectas por E ; entonces AE, EB son rectas inconmensurables en cuadrado que hacen la suma de sus cuadrados medial y el rectángulo comprendido por ellas también medial y además la suma de los cuadrados de AE, EB inconmensurable con el rectángulo comprendido por AE, EB [Prop. X.41]; sígase la misma construcción que en los teoremas anteriores . De manera semejante demostraríamos que CF, FD son inconmensurables en cuadrado y que la suma de los cuadrados de AE, EB es conmensurable con la suma de los cuadrados de CF, FD y el rectángulo comprendido por AE, EB con el rectángulo comprendido por CF, FD; de modo que la suma de los cuadrados de CF, FD es medial y el rectángulo comprendido por CF, FD es también medial y además la suma de los cuadrados de CF, FD es inconmensurable con el rectángulo comprendido por CF, FD. Por consiguiente, CD es el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.
Q. E. D.