Si un área está comprendida por una recta racional y una sexta binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no racional llamada lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.
Esté, pues, comprendida el área ABCD por la recta racional AB y la sexta binomial AD , dividida en sus términos por el punto E de modo que AE sea el término mayor . Digo que el lado del cuadrado equivalente al área AC es el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.
Sígase la misma construcción que en las demostraciones anteriores . Queda claro, entonces, que MO es el lado del cuadrado equivalente al área AC y que MN es inconmensurable en cuadrado con NO. Y como EA es inconmensurable en longitud con AB, entonces EA, AB son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; entonces AK, es decir la suma de los cuadrados de MN, NO es medial [Prop. X.21]: puesto que ED es a su vez inconmensurable en longitud con AB, entonces FE es también inconmensurable en longitud con EK [Prop. X.13]; luego FE, EK son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, por tanto EL, es decir MR, esto es el rectángulo MN, NO es también medial [Prop. X.21]. Y como AE es inconmensurable con EF, AK es también inconmensurable con EL [Prop. VI.1; Prop. X.11]. Pero AK es la suma de los cuadrados de MN, NO y EL es el rectángulo MN, NO; luego la suma de los cuadrados de MN, NO es inconmensurable con el rectángulo MN, NO. Ahora bien, cada uno de ellos es medial y las rectas MN, NO son inconmensurables en cuadrado. Por consiguiente, MO es el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales [Prop. X.41] y el lado del cuadrado equivalente a AC.
Q. E. D.