Si un área está comprendida por una recta racional y una tercera apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es una segunda apótoma de una medial.
Sea, pues, comprendida el área ▭AB por la recta racional AC y la tercera apótoma AD . Digo que el lado del cuadrado equivalente al área ▭AB es una segunda apótoma de una medial.
Sea, pues, DG la adjunta a AD ; entonces AG, GD son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, y ninguna de las rectas AG, GD es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta AC, y el cuadrado de la recta entera AG es mayor que el de la adjunta DG en el cuadrado de una recta conmensurable con ella AG [Def. X-III-3], Pues bien, como el cuadrado de AG es mayor que el de GD en el cuadrado de una recta conmensurable con ella AG, entonces, si se aplica a AG un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de DG, deficiente en la figura de un cuadrado, la divide en partes conmensurables [Prop. X.17]. Así pues, divídase DG en dos partes iguales por el punto E , y apliqúese a AG un paralelogramo igual al cuadrado de EG deficiente en la figura de un cuadrado, y sea el rectángulo comprendido por AF, FG . Y trácense por los puntos E, F, G las rectas EH, FI, GK paralelas a AC ; entonces AF, FG son conmensurables; luego ▭AI es también conmensurable con ▭FK [Prop. VI.1 y Prop. X.11]. Y como AF, FG son conmensurables en longitud, entonces AG es también conmensurable en longitud con cada una de las rectas AF, FG [Prop. X.15]. Pero AG es racional e inconmensurable en longitud con AC; de modo que AF, FG también lo son [Prop. X.13]. Luego cada uno de los rectángulos ▭AI, ▭FK es medial [Prop. X.21]. Como DE es, a su vez, conmensurable en longitud con EG, entonces DG es también conmensurable en longitud con cada una de las rectas DE, EG [Prop. X.15]. Pero GD es racional e inconmensurable en longitud con AC [Prop. X.13]. Por tanto, cada una de las rectas DE, EG es racional e inconmensurable en longitud con AC. Luego cada uno de los rectángulos ▭DH, ▭EK es medial [Prop. X.21]. Y como AG, GD son conmensurables sólo en cuadrado, entonces AG es inconmensurable en longitud con GD. Pero AG es conmensurable en longitud con AF, y DG con EG; luego AF es inconmensurable en longitud con EG [Prop. X.13]. Pero como AF es a EG, así ▭AI a ▭EK [Prop. VI.1]; por tanto, ▭AI es inconmensurable con ▭EK [Prop. X.11]. Pues bien, constrúyase el cuadrado □LM = ▭AI y quítese □NO igual a ▭FK y que esté en torno al mismo ángulo que □LM; entonces □LM, □NO están en torno a la misma diagonal [Prop. VI.26]. Sea su diagonal PR y constrúyase la figura . Así pues, como el rectángulo comprendido por AF, FG es igual al cuadrado de EG, entonces, como AF es a EG, así EG a FG; y como AF es a EG, así ▭AI a ▭EK; y como EG es a FG, así ▭EK a ▭FK [Prop. VI.11]; y como ▭AI es a ▭EK, así ▭EK a ▭FK, luego ▭EK es media proporcional de los rectángulos ▭AI, ▭FK. Y ▭MN es también media proporcional de los cuadrados □LM, □NO; y ▭AI es igual a □LM y ▭FK a □NO; por tanto ▭EK es igual a ▭MN. Pero ▭MN es igual a ▭LO, y ▭EK es igual a ▭DH; entonces también el rectángulo entero ▭AK es igual al gnomon ◱UVW y □NO; y ▭AK es igual a ▭LM, □NO; luego el resto ▭AB es igual a □ST, es decir al cuadrado de LN; por tanto, LN es el lado del cuadrado equivalente al área ▭AB.
Digo que DN es una segunda apótoma de una medial.
Pues como se ha demostrado que ▭AI, ▭FK son mediales y son también iguales a los cuadrados de LP, PN, entonces cada uno de los cuadrados de LP, PN es también medial; luego cada una de las rectas LP, PN es también medial. Y puesto que ▭AI es conmensurable con ▭FK [Prop. VI.1 y Prop. X.11], entonces el cuadrado de LP es también conmensurable con el cuadrado de PN. Como se ha demostrado, a su vez, que ▭AI es inconmensurable con ▭EK, entonces □LM es también inconmensurable con ▭MN, es decir, el cuadrado de LP con el rectángulo comprendido por LP, PN; de modo que LP es también inconmensurable con PN [Prop. VI.1 y Prop. X.11]; luego LP, PN son rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado. Digo ahora que también comprenden un rectángulo medial. Pues como se ha demostrado que ▭EK es medial y es igual al rectángulo comprendido por LP, PN, entonces el rectángulo comprendido por LP, PN es también medial; de modo que LP, PN son rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprenden un rectángulo medial. Luego LN es una segunda apótoma de una medial [Prop. X.75]; y es el lado del cuadrado equivalente al área ▭AB. Por consiguiente, el lado del cuadrado equivalente al área ▭AB es una segunda apótoma de una medial.
Q. E. D.