El cuadrado de una recta «menor», aplicado a una recta racional produce como anchura un cuarta apótoma.
Sea AB la recta «menor» , y CD la racional , y aplíquese CD·CF=AB2 . Digo que CF es una cuarta apótoma.
Sea, pues, BG la adjunta a AB ; entonces AG, GB son rectas, inconmensurables en cuadrado que hacen AG2+GB2 racional y 2AG·GB medial [Prop. X.76]. Y aplíquese CD·CK=AG2 , y CD·KM=GB2 ; entonces el área entera CD·CM=AG2+GB2. Y AG2+GB2 es racional; entonces CD·CM es también racional. Y se ha aplicado a la recta racional CD produciendo la anchura CM; luego CM es también racional y conmensurable en longitud con CD [Prop. X.20]. Y como el área entera CD·CM=AG2+GB2, donde CD·CF=AB2, entonces el área restante CD·FM = 2AG·GB [Prop. II.7], Pues bien, divídase FM en dos partes iguales por el punto N , y trácese, por el punto N, la recta NO paralela a las dos rectas CD, ML ; entonces, CD·FN = CD·NM =AG·GB. Y como 2AG·GB es medial y CD·FM = 2AG·GB, entonces CD·FM también es medial. Y se ha aplicado a la recta racional FE produciendo la anchura FM; luego FM es racional e inconmensurable en longitud con CD [Prop. X.22]. Y puesto que AG2+GB2 es racional, mientras que AG·GB es medial, entonces AG2+GB2 es inconmensurable con 2AG·GB. Pero CD·CM=AG2+GB2 y CD·FM = 2AG·GB. Luego CD·CM es inconmensurable con CD·FM. Pero como CD·CM / CD·FM = CM / MF [Prop. VI.1]; entonces CM es inconmensurable en longitud con MF [Prop. X.11], Y ambas son racionales; luego CM, MF son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; por tanto CF es una apótoma [Prop. X.73].
Digo que también es cuarta.
Pues como AG, GB son inconmensurables en cuadrado, entonces AG2 es inconmensurable con GB2. Y CD·CK=AG2, mientras que CD·KM=GB2; así pues, CD·CK es inconmensurable con CD·KM. Pero como CD·CK/ CD·KM = CK / KM [Prop. VI.1], Entonces CK es inconmensurable en longitud con KM. Y como AG·GB es media proporcional de AGsup>2, GBsup>2, y CD·CK=AG2, mientras que CD·KM=GB2, y AG·GB = CD·NM, entonces CD·NM es media proporcional de CD·CK, CD·KM; luego como CD·CK/ CD·NM = CD·NM / CD·KM; pero como CD·CK/CD·NM = CK / NM y como CD·NM / CD·KM = NM / KM [Prop. VI.1]; entonces, como CK / MN = MN / KM [Prop. V.11]. Luego CK·KM = MN2 [Prop. VI.17], es decir a (1/4)FM2. Pues bien, como CM, MF son dos rectas desiguales, y se ha aplicado a CM el rectángulo comprendido por CK, KM igual a la cuarta parte del cuadrado de MF, deficiente en la figura de un cuadrado y la divide en partes inconmensurables, entonces el cuadrado de CM es mayor que el de MF en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella CM [Prop. X.18]. Y la recta entera CM es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta CA; por tanto, CF es una cuarta apótoma [Def. X-III-4].
Q. E. D.