Si un área está comprendida por una recta racional y una segunda binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no racional llamada primera bimedial.
Esté, pues, comprendida el área ABCD por la recta racional AB y la segunda binomial AD . Digo que el lado del cuadrado equivalente al área AC es una recta primera bimedial.
Pues como AD es una recta segunda binomial, divídase en sus términos por el punto E, de modo que AE sea el término mayor ; entonces AE, ED son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, y el cuadrado de AE es mayor que el de ED en el cuadrado de una recta conmensurable con ella AE, y el término menor ED es conmensurable en longitud con AB [Def. Def. X-II-2]. Divídase ED en dos partes iguales por el punto F , y aplíquese a AE el rectángulo AGE igual al cuadrado de EF y deficiente en la figura de un cuadrado . Entonces AG es conmensurable en longitud con GE [Prop. X.17]. Y trácense por los puntos G, E, F las rectas GH, EK, FL paralelas a AB, CD , y constrúyase el cuadrado SN, igual al paralelogramo AH , y el cuadrado NQ igual al paralelogramo GK , y hágase de modo que MN, NO estén en línea recta. Entonces RN está también en línea recta con NP. Complétese el cuadrado SQ ; queda claro, entonces, a partir de lo demostrado anteriormente, que MR es media proporcional de SN, NQ y es igual a EL y que MO es el lado del cuadrado equivalente al área AC. Hay que demostrar ahora que MO es una recta primera bimedial. Puesto que AE es inconmensurable en longitud con ED, mientras que ED es conmensurable con AB, entonces AE es inconmensurable con AB [Prop. X.13]. Ahora bien, puesto que AG es conmensurable con EG, AE es conmensurable también con cada una de las rectas AG, GE [Prop. X.15]. Pero AE es inconmensurable en longitud con AB; luego AG, GE son inconmensurables también con AB [Prop. X.13]. Por tanto BA, AG, GE es decir: BA, AG y BA, GE son pares de rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; de modo que cada uno de los rectángulos AH, GK es medial [Prop. X.21]. De manera que cada uno de los rectángulos AH, GK es medial [Prop. X.21]. De manera que cada uno de los cuadrados SN, NQ es también medial. Entonces las rectas MN, NO son también mediales. Y dado que AG es conmensurable en longitud con GE, el rectángulo AH es conmensurable también con el rectángulo GK [Prop. VI.1; Prop. X.11], es decir el cuadrado de SN con el cuadrado de NQ, es decir el cuadrado de MN con el cuadrado de NO. Ahora bien, como AE es inconmensurable en longitud con ED, mientras que AE es conmensurable con AG, y ED es conmensurable con EF, entonces AG es inconmensurable con EF [Prop. X.13]; de modo que el rectángulo AH es inconmensurable con el rectángulo EL, es decir el cuadrado SN con el cuadrado MR, esto es la recta PN con la recta NR [Prop. VI.1; Prop. X.11]. Es decir, MN es inconmensurable en longitud con NO. Pero se ha demostrado que MN, NO son tanto mediales como conmensurables en cuadrado; entonces MN, NO son rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado.
Digo además que comprenden un rectángulo racional.
Pues como se ha supuesto que DE es conmensurable con cada una de las rectas AB, EF, entonces EF lo es también con EK. Y cada una de ellas es racional. Por tanto, EL, es decir MR es racional [Prop. X.19]; pero MR es el rectángulo MNO. Ahora bien, si se suman dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo racional, la recta entera no es racional y se llama primera bimedial [Prop. X.37]. Por consiguiente, MO es una primera bimedial.
Q. E. D.