Dadas dos magnitudes conmensurables, hallar su medida común máxima.
Sean AB, CD dos magnitudes dadas conmensurables, de las cuales AB sea la menor . Así pues, hay que hallar la medida común máxima de AB, CD.
Pues bien, AB o mide a CD o no la mide. Si, en efecto, la mide y se mide también a sí misma, entonces AB es una medida común de AB, CD; y está claro que también es la mayor. Porque no medirá a AB ninguna magnitud mayor que AB. Pero ahora no mida AB a CD y, al restar continua y sucesivamente la menor de la mayor, la magnitud restante medirá alguna vez a la anterior a ella, porque AB, CD no son inconmensurables [Prop. X.2]; y AB, al medir a ED, deje la magnitud EC menor que ella , y EC, al medir a FB, deje la magnitud AF menor que ella y mida AF a CE . Como, en efecto, AF mide a CE, mientras que CE mide a FB, entonces AF medirá también a FB. Pero también se mide a sí misma; luego AF medirá también a la magnitud entera AB. Ahora bien, AB mide a DE; entonces AF medirá también a ED. Pero mide también a CE; luego mide también a la magnitud entera CD; por tanto, AF es una medida común de AB, CD.
Digo ahora que también es la mayor.
Pues, si no, habrá una magnitud mayor que AF que medirá a AB, CD. Sea G . Así pues, dado que G mide a AB, mientras que AB mide a ED, entonces G medirá a ED. Pero mide también a la magnitud entera CD; luego G medirá también a la magnitud restante CE. Pero CE mide a FB; luego G medirá también a FB. Pero también mide a la magnitud entera AB y medirá también a la magnitud restante AF, la mayor a la menor; lo cual es imposible. Luego ninguna magnitud mayor que AF medirá a AB, CD; por tanto AF es la medida común máxima de AB, CD. Por consiguiente, se ha hallado la medida común máxima, AF, de las dos magnitudes dadas AB, CD.
Q. E. D.
A partir de esto queda claro que, si una magnitud mide a dos magnitudes, medirá también a su medida común máxima.