Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la mayor una magnitud mayor que su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada.
Sean AB , C dos magnitudes desiguales de las cuales AB es la mayor . Digo que, si se quita de AB una magnitud mayor que su mitad y de la magnitud restante, una magnitud mayor que su mitad, y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud C.
Pues C multiplicada será alguna vez mayor que AB [Def. V.4]. Multiplíquese y sea DE un múltiplo de C mayor que AB ; divídase DE en DF, FG, GE iguales a C , y de AB quítese BH mayor que su mitad , y de AH quítese HK mayor que su mitad , y así sucesivamente hasta que las divisiones de AB lleguen a ser iguales en número a las divisiones de DE.
Sean, pues, AK, KH, HB divisiones que son iguales en número a las divisiones DF, FG, GE; ahora bien, dado que DE es mayor que AB y que de DE se ha quitado la magnitud EG menor que su mitad y de AB la magnitud BH mayor que su mitad, entonces la magnitud restante GD es mayor que la magnitud restante HA. Y dado que GD es mayor que HA y se ha quitado de GD su mitad GF y de HA una magnitud HK mayor que su mitad, entonces la magnitud restante DF es mayor que la magnitud restante AK. Pero DF es igual a C; luego es mayor que AK. Por tanto, AK es menor que C. Por consiguiente, de la magnitud AB queda la magnitud AK que es menor que la magnitud dada C.
Q. E. D.
De manera semejante demostraríamos que esto ocurre también si se quita la mitad.