Si un área está comprendida por una apótoma y una binomial cuyos términos son conmensurables con los términos de la apótoma y guardan la misma razón, el lado del cuadrado equivalente al área es racional.
Sea, pues, comprendida el área AB, CD por la apótoma AB y la binomial CD cuyo término mayor sea CE , y sean los términos de la binomial CE, ED conmensurables con los términos de la apótoma AF, FB y guarden la misma razón, y sea G el lado del cuadrado equivalente al rectángulo comprendido por AB, CD . Digo que G es racional.
Pues póngase la recta racional H , y aplíquese a CD un paralelogramo igual al cuadrado de H produciendo la anchura KL ; entonces KL es una apótoma; sean sus términos KM, ML conmensurables con los términos CE, ED de la binomial y guarden la misma razón [Prop. X.112]. Pero CE, ED son también conmensurables con AF, FB y guardan la misma razón. Entonces, como AF es a FB, así KM a ML. Luego, por alternancia, como AF es a KM, así BF a LM; por tanto, la recta restante AB es a la recta restante KL como AF es a KM [Prop. V.19]. Pero AF es conmensurable con KM [Prop. X.12]; entonces AB es también conmensurable con KL [Prop. X.11]. Ahora bien, como AB es a KL, así el rectángulo comprendido por CD, AB al rectángulo comprendido por CD, KL [Prop. VI.1]. Luego el rectángulo comprendido por CD, AB es conmensurable también con el rectángulo comprendido por CD, KL [Prop. X.11]. Pero el rectángulo comprendido por CD, KL es igual al cuadrado de H; así pues, el rectángulo comprendido por CD, AB es conmensurable con el cuadrado de H. Pero el rectángulo comprendido por CD, AB es igual al cuadrado de G; entonces el cuadrado de G es conmensurable con el cuadrado de H. Pero el cuadrado de H es racional, luego el cuadrado de G es racional. Por tanto, G es racional. Y es el lado del cuadrado equivalente al rectángulo comprendido por CD, AB. Por consiguiente, si un área está comprendida por una apótoma y una binomial cuyos términos son conmensurables con los términos de la apótoma y guardan la misma razón, el lado del cuadrado equivalente al área es racional.
Q. E. D.
Y por eso también nos queda claro lo siguiente: que es posible que un área racional esté comprendida por rectas no racionales.