Hallar rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo racional.
Pónganse dos rectas, A, B, racionales conmensurables sólo en cuadrado , y tómese la media proporcional, C, de A, B , y, como A es a B, sea así C a D [Prop. VI.21]. Y puesto que A, B son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, entonces el rectángulo comprendido por A, B, es decir, el cuadrado de C [Prop. VI.17] es medial [Prop. X.21]. Entonces C es medial. Y puesto que, como A es a B, C es a D, y A, B son conmensurables sólo en cuadrado, entonces C, D son también conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.11]. Ahora bien, C es medial, luego también D es medial. Por tanto, C, D son mediales y conmensurables sólo en cuadrado. Digo que también comprenden un rectángulo racional.
Pues, dado que, como A es a B, así C a D, entonces, por alternancia, como A es a C, B es a D [Prop. V.16]. Pero como A es a C, B es a D [Prop. V.16]. Pero como A es a C, C es a B; entonces, como C es a B, así B a D; luego el rectángulo comprendido por C, D es igual al cuadrado de B. Pero el cuadrado de B es racional; por tanto el rectángulo comprendido por C, D es también racional.
Q. E. D.