Si de una recta medial se quita otra medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rectángulo racional, la recta restante es irracional; llámesela primera apótoma de una medial.
Quítese, pues, de la recta medial AB la recta medial BC que es conmensurable sólo en cuadrado con AB y produce junto con AB el rectángulo racional comprendido por AB, BC. Digo que la recta restante AC es irracional; llámese primera apótoma de una medial.
Pues como AB y BC son mediales, AB2 y BC2 son también mediales. Pero 2AB·BC es racional; entonces AB2 + BC2 es inconmensurable con 2AB·BC; luego 2AB·BC es inconmensurable con el resto, AC2 [Prop. II.7]; puesto que, si una magnitud total es inconmensurable con una de las magnitudes parciales, también las magnitudes iniciales serán inconmensurables [Prop. X.16]. Pero 2AB·BC es racional; luego AC2 es irracional; por consiguiente AC es irracional; llámesela primera apótoma de una medial.
Q. E. D.