Si se suman dos magnitudes inconmensurables, la magnitud total también será inconmensurable con cada una de ellas; y si la magnitud total es inconmensurable con una de ellas, las magnitudes iniciales serán también inconmensurables.
Súmense, pues, las dos magnitudes inconmensurables AB, BC . Digo que la magnitud total AC es inconmensurable con cada una de las magnitudes AB, BC.
Pues si CA, AB no son inconmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas una magnitud, si es posible, y sea D , así AB=mD, CA=nD, donde m y n son números. Así pues, como D mide a CA, AB, entonces, medirá también a la magnitud restante BC, pues BC=AB-CA=mD-nD=(m-n)D. Pero mide también a AB; entonces D mide a AB, BC. Luego AB, BC son conmensurables; pero se ha supuesto que son inconmensurables; lo cual es imposible. Por tanto, ninguna magnitud medirá a CA, AB; luego CA, AB son inconmensurables [Def. X.1]. De manera semejante demostraríamos que AC, CB son inconmensurables. Por tanto AC es inconmensurable con cada una de las magnitudes AB, BC.
Pero ahora sea AC inconmensurable con una de las magnitudes AB, BC. Séalo en primer lugar con AB. Digo que AB, BC son también inconmensurables.
Pues, si son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas una magnitud y sea D, así AB=mD, BC=nD, donde m y n son números. Así pues, como D mide a AB, BC, entonces, medirá también a la magnitud total AC, pues AC=AB+BC=mD+nD=(m+n)D. Pero mide también a AB; entonces D mide a CA, AB. Luego CA, AB son conmensurables; pero se ha supuesto que son inconmensurables; lo cual es imposible. Luego ninguna magnitud medirá a AB, BC; por tanto AB, BC son inconmensurables.
Q. E. D.