Si un área está comprendida por una recta racional y una tercera binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no racional llamada segunda bimedial.
Sea, pues, comprendida el área ABCD por la recta racional AB y la tercera binomial AD dividida por el punto E en sus términos, de los cuales el mayor es AE . Digo que el lado del cuadrado equivalente al área AC es la recta no racional llamada segunda bimedial.
Sígase, pues, la misma construcción de la proposición anterior . Y como AD es una tercera binomial, entonces AE, ED son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, y el cuadrado de AE es mayor que el de ED en el cuadrado de una recta conmensurable con ella AE, y ninguno de los términos AE, ED es conmensurable en longitud con AB [Def. Def. X-II-3]. De manera semejante a los teoremas anteriores demostraríamos que MO es el lado del cuadrado equivalente al área AC, y MN, NO son rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado; de modo que MO es bimedial.
Hay que demostrar ahora que es también segunda.
Puesto que DE es inconmensurable en longitud con AB, es decir con EK, mientras que DE es conmensurable con EF, entonces EF es inconmensurable en longitud con EK [Prop. X.13]. Y son racionales; entonces FE, EK son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado. Luego EL, es decir MR, es medial [Prop. X.21], y está comprendido por MN, NO; entonces el rectángulo comprendido por MN, NO es medial. Por consiguiente, MO es una segunda bimedial.
Q. E. D.