Si de un área racional se quita un área medial, el lado del cuadrado equivalente al área restante es una de estas dos rectas no racionales: o bien una apótoma o bien una «menor».
Quítese, pues, del área racional BC el área medial BD . Digo que el lado del cuadrado equivalente al área restante EC es una de estas dos rectas no racionales; o bien una apótoma o bien una «menor».
Pues póngase la recta racional FG , y apliqúese a FG el paralelogramo rectángulo GH igual a BC, y quítese el paralelogramo GK igual a DB ; entonces el área restante EC es igual a LH. Pues bien, como BC es racional, mientras que BD es medial, y BC es igual a GH, mientras que BL es igual a GK, entonces GH es racional y GK medial. Y se han aplicado a la recta racional FG; luego FH es racional y conmensurable en longitud con FG [Prop. X.20]; y FK es racional e inconmensurable en longitud con FG [Prop. X.22]; por tanto, FH es inconmensurable en longitud con FK [Prop. X.13]. Entonces FH, FK son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; luego KH es una apótoma [Prop. X.73], y KF la adjunta a ella. Entonces el cuadrado de HF es mayor que el de FK en el cuadrado de una recta o conmensurable con HF o no. Sea, en primer lugar, su cuadrado mayor en el cuadrado de una recta conmensurable. Ahora bien, la recta entera HF es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta FG; luego KH es una primera apótoma [Def. X-III-1]. Pero el lado del cuadrado equivalente al rectángulo comprendido por una recta racional y una primera apótoma, es una apótoma [Prop. X.91]. Luego el lado del cuadrado equivalente a LH, es decir a EC, es una apótoma. Pero si el cuadrado de HF es mayor que el de FK en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella HF y la recta entera FH es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta FG, KH es una cuarta apótoma [Def. X-III-4]. Y el lado del cuadrado equivalente al rectángulo comprendido por una recta racional y una cuarta apótoma es una recta «menor» [Prop. X.92].
Q. E. D.