Una recta conmensurable con el lado del cuadrado equivalente a un área racional más una medial es ella misma también el lado del cuadrado equivalente a un área racional más una medial.
Sea AB el lado del cuadrado equivalente a un área racional más una medial y sea CD conmensurable con AB . Hay que demostrar que CD es también el lado del cuadrado equivalente a un área medial más una racional.
Divídase AB en sus rectas por el punto E ; entonces AE, EB son rectas inconmensurables en cuadrado que hacen la suma de sus cuadrados medial y el rectángulo comprendido por ellas racional [Prop. X.40]; sígase la misma construcción que en los teoremas anteriores . De manera semejante demostraríamos que CF, FD son inconmensurables en cuadrado y que la suma de los cuadrados de AE, EB es conmensurable con la suma de los cuadrados de CF, FD y el rectángulo comprendido por AE, EB con el rectángulo comprendido por CF, FD; de modo que la suma de los cuadrados de CF, FD es medial y el rectángulo comprendido por CF, FD racional. Por consiguiente, CD es el lado del cuadrado equivalente a un área medial más una racional.
Q. E. D.