A una primera apótoma de una medial se le adjunta únicamente una recta medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rectángulo racional.
Sea, pues, AB la primera apótoma de una medial y adjúntese a AB la recta BC ; entonces AC, CB son rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprenden el rectángulo racional AC, CB [Prop. X.74]. Digo que no se añade a AB ninguna otra recta medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rectángulo racional.
Pues, si es posible, adáptese también DB ; entonces AD, DB son rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprenden el rectángulo racional AD, DB [Prop. X.74]. Y como aquello en lo que exceden los cuadrados de AD, DB al doble del rectángulo comprendido por AD, DB, en eso exceden también los cuadrados de AC, CB al doble del rectángulo comprendido por AC, CB, porque exceden en lo mismo, en el cuadrado de AB [Prop. II.7]; entonces, por alternancia, aquello en lo que exceden los cuadrados de AD, DB a los cuadrados de AC, CB, en eso excede también el doble del rectángulo comprendido por AD, DB al doble del rectángulo comprendido por AC, CB. Pero el doble del rectángulo comprendido por AC, CB excede al doble del rectángulo comprendido por AC, CB en un área racional, porque ambos son racionales; así pues, los cuadrados de AD, DB exceden a los cuadrados de AC, CB en un área racional; lo cual es imposible, porque ambos son mediales y un área medial no excede a un área medial en un área racional [Prop. X.26]. Por consiguiente, a la primera apótoma de una medial se le adjunta únicamente una recta medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y comprenda con la recta entera un rectángulo racional.
Q. E. D.