Si un área está comprendida por una recta racional y una sexta apótoma, la raíz cuadrada del área es la recta que hace con un área medial un área total medial.
Pues sea comprendida el área ▭AB por la recta racional AC y la sexta apótoma AD . Digo que la raíz cuadrada de ▭AB es la recta que hace con un área medial un área total medial.
Pues sea DG la adjunta a AD ; entonces AG, GD son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado y ninguna de ellas es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta AC y el cuadrado de la recta entera AG es mayor que el de la adjunta DG en el cuadrado de una recta inconmensurable en longitud con ella AG [Def. X-III-6]: pues bien, como el cuadrado de AG es mayor que el de GD en el cuadrado de una recta inconmensurable en longitud con ella AG, entonces, si se aplica a AG un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado DG deficiente en la figura de un cuadrado, lo dividirá en partes inconmensurables [Prop. X.18]. Así pues, divídase DG en dos partes iguales por el punto E , y aplíquese a AG un paralelogramo igual al cuadrado de EG, deficiente en la figura de un cuadrado, y sea el rectángulo comprendido por AF, FG ; entonces AF es inconmensurable en longitud con FG. Pero, como AF es a FG, así ▭AI = ▭FK [Prop. VI.1]; luego ▭AI es inconmensurable con ▭FK [Prop. X.11]. Y puesto que AG, AC son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, ▭AK es medial [Prop. X.21]. Puesto que AC, DG son, a su vez, racionales e inconmensurables en longitud, ▭DK es también medial [Prop. X.21]. Pues bien, como AG, GD son conmensurables sólo en cuadrado, entonces AG es inconmensurable en longitud con GD. Pero como AG es a GD, así ▭AK a ▭KD [Prop. VI.1]; luego ▭AK es inconmensurable con ▭KD [Prop. X.11], Constrúyase, pues, el cuadrado □LM = ▭AI , y quítese □NO = ▭FK y en torno al mismo ángulo; entonces los cuadrados □LM, □NO están en torno a la misma diagonal [Prop. X.26]. Sea su diagonal PR y constrúyase la figura . De manera semejante a los teoremas anteriores demostraríamos que LN es el lado del cuadrado equivalente al área ▭AB.
Digo que LN es la recta que hace con un área medial un área entera medial.
Pues como se ha demostrado que ▭AK es medial y es también igual a los cuadrados de LP, PN, entonces la suma de los cuadrados de LP, PN es medial. Como se ha demostrado a su vez que ▭DK es medial y es igual al doble del rectángulo comprendido por LP, PN, el doble del rectángulo comprendido por LP, PN es medial. Y como se ha demostrado que ▭AK es inconmensurable con ▭DK, los cuadrados de LP, PN son también inconmensurables con el doble del rectángulo comprendido por LP, PN. Y puesto que ▭AI es inconmensurable con ▭FK, entonces el cuadrado de LP es inconmensurable con el cuadrado de PN; luego LP, PN son rectas inconmensurables en cuadrado que hacen la suma de sus cuadrados medial y el doble del rectángulo comprendido por ellas medial y además sus cuadrados inconmensurables con el doble del rectángulo comprendido por ellas. Por tanto, LN es la recta irracional llamada la que hace con un área medial un área entera medial [Prop. X.78]; y es el lado del cuadrado equivalente al área ▭AB. Por consiguiente, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta que hace con un área medial un área entera medial.
Q. E. D.