A partir de una recta medial se produce un número infinito de rectas irracionales y ninguna de ellas es la misma que ninguna de sus predecesoras.
Sea, pues, A una recta medial . Digo que, a partir de A se produce un número infinito de rectas irracionales y que ninguna de ellas es la misma que una de sus predecesoras.
Pues póngase la recta racional B , y sea el cuadrado de C igual al rectángulo comprendido por B, A ; entonces C es irracional [Def. X-I-4]; porque un área comprendida por una recta racional y una recta irracional es un área irracional [Prop. X.20]. Y no es la misma que ninguna de sus predecesoras porque ninguno de los cuadrados de las predecesoras aplicado a una recta racional produce como anchura una recta medial. Sea, a su vez, el cuadrado de D igual al rectángulo comprendido por B, C ; entonces el cuadrado de D es irracional [Prop. X.20]. Luego D es una recta irracional [Def. X-I-4]; y no es la misma que ninguna de sus predecesoras, porque ninguno de los cuadrados de las predecesoras aplicado a una recta racional, produce como anchura C. De manera semejante, entonces, avanzando en la serie ad infinitum queda claro que, a partir de una recta medial se produce un número infinito de rectas irracionales y ninguna es la misma que una de sus predecesoras.
Q. E. D.