Una recta conmensurable con una apótoma de una medial es apótoma de una medial y del mismo orden.
Sea, pues, AB una apótoma de una medial , y sea CD conmensurable en longitud con AB ; digo que CD es también apótoma de una medial y del mismo orden que AB.
Pues como AB es una apótoma de una medial, sea EB la adjunta . Entonces AE, EB son rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.74, Prop. X.75]. Y hágase de forma que, AB / CD = BE / DF [Prop. VI.12]; entonces AE es también conmensurable con CF y BE con DF [Prop. V.12 y Prop. X.11]. Pero AE, EB son rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado; entonces CF, FD son también rectas mediales [Prop. X.11] conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.13]; luego CD es apótoma de una medial [Prop. X.74, Prop. X.75].
Digo ahora que es también del mismo orden que AB.
Pues, como AE / EB = CF / FD, entonces, AE2 / AE·EB = CF2 / CF·FD. Pero AE2 es conmensurable con CF2; luego AE·EB es también conmensurable con CF·FD [Prop. V.6 y Prop. X.11]. Pues bien, si AE·EB es racional, CF·FD será también racional [Def. X-III-4], si AE·EB es medial, CF·FD es también medial [Cor. Prop. X.23]. Por consiguiente, CA es una apótoma de una medial y del mismo orden que AB.
Q. E. D.