A la segunda apótoma de una medial de le adjunta únicamente una recta medial conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera que comprenda con la recta entera un rectángulo medial.
Sea AB la segunda apótoma de una medial y BC la adjunta a AB ; entonces AC, CB son rectas mediales conmensurables s ólo en cuadrado que comprenden el rectángulo medial AC, CB [Prop. X.75]. Digo que no se adjuntará a AB ninguna otra recta medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y comprenda con la recta entera un rectángulo medial.
Pues, si es posible, adjúntese BD ; entonces AD, DB son rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprenden el rectángulo medial AD, DB [Prop. X.75]; póngase la recta racional EF , y aplíquese a EF el rectángulo EG igual a los cuadrados de AC, CB que produzca la anchura EM ; y quítese el rectángulo HG igual al doble del rectángulo comprendido por AC, CB que produzca la anchura HM ; entonces el resto EL es igual al cuadrado de AB [Prop. II.7]; de modo que AB es el lado del cuadrado equivalente a EL. Pues aplíquese, a su vez, a EF el área EI igual a los cuadrados de AD, DB que produzca la anchura EN ; pero EL es también igual al cuadrado de AB; entonces el área restante HI es igual al doble del rectángulo comprendido por AD, DB [Prop. II.7]. Ahora bien, dado que AC, CB son mediales, entonces los cuadrados de AC, CB son también mediales: y son iguales a EG; así pues, EG es también medial [Prop. X.15 y Cor. Prop. X.23]. Y se ha aplicado a la recta racional EF produciendo la anchura EM; luego EM es una recta racional inconmensurable en longitud con EF [Prop. X.22]. Puesto que el rectángulo comprendido por AC, CB es, a su vez, medial, el doble del rectángulo comprendido por AC, CB es también medial [Cor. Prop. X.23]. Y es igual a HG; entonces HG es también medial. Ahora bien, se ha aplicado a la recta racional EF produciendo la anchura HM; luego HM es también racional inconmensurable en longitud con EF [Prop. X.22]. Y como AC, CB son conmensurables sólo en cuadrado, entonces AC es inconmensurable en longitud con CB. Pero, como AC es a CB, así el cuadrado de AC al rectángulo comprendido por AC, CB; entonces el cuadrado de AC es inconmensurable con el rectángulo comprendido por AC, CB [Prop. X.11]. Ahora bien, los cuadrados de AC, CB son conmensurables con el cuadrado de AC, mientras que el rectángulo comprendido por AC, CB es conmensurable con el doble del rectángulo comprendido por AC, CB [Prop. X.6]; luego los cuadrados de AC, CB son inconmensurables con el doble del rectángulo comprendido por AC, CB [Prop. X.13]. Y EG es igual a los cuadrados de AC, CB, mientras que GD es igual al doble del rectángulo comprendido por AC, CB; así pues, EG es inconmensurable con HG. Pero como EG es a HG, así EM a HM [Prop. VI.1]; entonces EM es inconmensurable en longitud con MH [Prop. X.11]: y ambas son racionales; luego EM, MH son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; por tanto, EH es una apótoma y HM la adjunta a ella [Prop. X.73]. De manera semejante demostraríamos ahora que HN también es adjunta a ella; entonces, se adjuntan a una apótoma dos rectas distintas que son conmensurables sólo en cuadrado con la recta entera; lo cual es imposible [Prop. X.79]. Por consiguiente, a la segunda apótoma de una medial se le adjunta únicamente una recta medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que comprenda con la recta entera un rectángulo medial.
Q. E. D.