Hallar la primera apótoma.
Póngase la recta racional A , y sea BG una recta conmensurable en longitud con ella ; entonces BG es también racional. Pónganse dos números cuadrados DE, EF , cuya diferencia, FD, no sea un número cuadrado; entonces ED tampoco guarda con DF la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Y hágase de forma que ED / DF = BG2 / GC2 [Cor. Prop. X.6]; entonces BG2 es conmensurable con GC2 [Prop. X.6]. Pero BG2 es racional; así pues, GC2 también es racional; luego GC es racional. Y como ED no guarda con DF la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces BG2 tampoco guarda con GC2 la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.
Luego BG es inconmensurable en longitud con GC. Y ambas son racionales; entonces BG, GC son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; por tanto BC = BG-GC es una apótoma [Prop. X.73].
Digo ahora que es también primera.
Pues sea H2 = BG2 - GC2 . Y dado que, ED / FD = BG2/GC2, entonces, por conversión [Cor. Prop. V.11], ED/ED-DF= BG2/BG2-GC2, luego ED/EF = GB2/H2. Pero DE guarda con EF la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, pues cada uno de ellos es cuadrado; entonces el cuadrado de GB guarda con el de H la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego BG es conmensurable en longitud con H [Prop. X.9]. Ahora bien, BG2 =GC2-H2; entonces el cuadrado de BG es mayor que el de GC en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con ella BG. Y la recta entera BG es conmensurable en longitud con la recta propuesta A. Luego BC es una primera apótoma [Def. X-III-1]. Por consiguiente, se ha hallado la primera apótoma BC. Que es lo que había que hallar.
Q. E. D.