Una recta conmensurable en longitud con una apótoma es apótoma y del mismo orden.
Sea AB una apótoma , y sea CD conmensurable en longitud con ella . Digo que CD es apótoma y del mismo orden que AB.
Pues como AB es una apótoma, sea BE la adjunta a ella ; entonces AE, EB son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.73]. Y hágase de forma que CD / AB = BE / DF [Prop. VI.12]; entonces como una es a una, así todas a todas [Prop. V.12]; luego como AE / CF = AB / CD. Pero AB es conmensurable en longitud con CD. Entonces AE es también conmensurable con CF y BE con DF [Prop. X.11]. Ahora bien, AE, EB son rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado; luego CF, FD son también rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado [Prop. X.13]. Ahora bien, dado que, AE / CF = BE / DF, entonces, por alternancia, AE / EB = CF / FD [Prop. VI.16]. Así pues, AE2 es mayor que EB2 o bien en el cuadrado de una recta conmensurable con AE, o bien en el de una inconmensurable con ella. Pues bien, si AE2 es mayor que EB2 en el cuadrado de una recta conmensurable con ella AE, CF2 también será mayor que FD2 en el cuadrado de una recta conmensurable con ella CF [Prop. X.14]. Y si AE es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta, también lo será CF [Prop. X.12], pero, si BE, también DF [Prop. X.12], y si ninguna de las rectas AE, EB lo es, tampoco lo será ninguna de las rectas CF, FD [Prop. X.13]. Pero si AE2 es mayor que EB2 en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella AE, CF2 será también mayor que FD2 en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella CF [Prop. X.14]. Ahora bien, si AE es conmensurable en longitud con la recta racional propuesta, también CF, y si BE lo es, también DF [Prop. X.12], pero si no lo es ninguna de las rectas AE, EB tampoco lo será ninguna de las rectas CF, FD [Prop. X.13]. Por consiguiente, CD es apótoma y del mismo orden que AB.
Q. E. D.