Si se suman dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial y el rectángulo comprendido por ellas también medial e inconmensurable además con la suma de sus cuadrados, entonces la recta entera no es racional; llámesela lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.
Súmense, pues, las dos rectas AB, BC inconmensurables en cuadrado que cumplan las condiciones propuestas [Prop. X.35]. Digo que AC no es racional.
Póngase la recta racional DE y aplíquese a DE el rectángulo DF igual a los cuadrados de AB, BC y el rectángulo GH igual al doble del rectángulo comprendido por AB, BC ; entonces el rectángulo entero DH es igual al cuadrado de AC [Prop. II.4] y como la suma de los cuadrados de AB, BC es medial y es igual a DF, entonces DF es medial. Y se ha aplicado a la recta racional DE; luego DG es también racional e inconmensurable en longitud con DE [Prop. X.22]. Por lo mismo, GK es también racional e inconmensurable en longitud con GF, es decir, con DE. Y como los cuadrados de AB, BC son inconmensurables con el doble del rectángulo comprendido por AB, BC, DF es inconmensurable con GH; de manera que DG también es inconmensurable con GK [Prop. VI.1, Prop. X.11]. Y son racionales; entonces DG, GK son conmensurables sólo en cuadrado; luego DK, la llamada binomial, no es racional [Prop. X.36]. Pero DE es racional; entonces el rectángulo DH no es racional, y el lado del cuadrado igual a él no es racional [Def. X.4]. Pero AC es el lado del cuadrado igual a HD. Por tanto, AC no es racional; llámesela lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.
Q. E. D.