Los triángulos y los paralelogramos que tienen la misma altura son entre sí como sus bases.
Sean △ ABC, △ ACD
triángulos y
▭ EC, ▭ CF ▭EC, ▭CF paralelogramos que tienen la misma altura .
❨ ABC
❬ ABC
Digo que
BC
/
CD
=
A(△ ABC)
/
A(△ ACD)
=
A(▭EC)
/
A(▭CF)
.
Pues prolongúese BD por cada lado hasta los puntos H, L , y trácense tantos segmentos como se quiera BG, GH iguales a la base BC , y tantos segmentos como se quiera DK, KL iguales a la base CD . Y trácense AG, AH, AK, AL . Ahora bien, puesto que CB = BG =GH, los triángulos △AHG, △AGB, △ABC tienen el mismo área [Prop. I.38]. Por tanto, cuantas veces la base HC es múltiplo de la base BC, tantas veces el área del triángulo △AHC es múltiplo del área del triángulo △ABC. Por lo mismo cuantas veces la base LC es múltiplo de la base CD, tantas veces el área del triángulo △ALC es también múltiplo del área del triángulo △ACD; y si HC = CL, entonces △AHC = △ACL [Prop. I.38], y si HC > CL, entonces △AHC > △ACL, y si es menor, es menor.
Habiendo, pues, cuatro magnitudes: dos bases BC, CD y dos triángulos △ABC, △ACD, se han tomado unos equimúltiplos de la base BC y del triángulo △ABC, a saber: la base HC y el triángulo △AHC, y, de la base CD y del triángulo △ADC, otros equimúltiplos al azar, a saber: la base LC y el triángulo △ALC; ahora bien, se ha demostrado que, si HC > CL, entonces △AHC > △ALC, y si es igual, es igual, y si menor, menor. Por tanto, BC/CD = △ABC/△ACA [Def. V.5].
Y puesto que ▭EC = 2 △ABC [Prop. I.41] y ▭FC = 2 △ACD, mientras que las partes guardan la misma razón que sus mismos múltiplos [Prop. V.15], entonces, △ABC/△ACD = ▭EC/▭FC. Así pues, ya que se ha demostrado que, BC/CD = △ABC/△ACD, y, △ABC/△ACD = ▭EC/▭CF, entonces, BC/CD = ▭EC/▭FC [Prop. V.11].
Por consiguiente los triángulos y los paralelogramos que tienen la misma altura son entre sí como sus bases.
Q. E. D.